非线性规划（1）

目录

一、非线性规划的定义

二、非线性规划的模型

三、非线性规划函数

四、线性不等式约束

五、线性不等式和等式约束

六、带有非线性约束的求最值

七、非线性约束

         总结：

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一、非线性规划的定义

前面我们学了线性规划，整数规划，我们可以把整数规划理解为是特殊的线性规划。
在实际生活中，我们更多的认为数据是非线性的，对于线性规划这毕竟会是一些少量，为此我们引入了非线性规划。

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。

二、非线性规划的模型

Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式：

Matlab中的命令是：

[x,y]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

三、非线性规划函数

fmincon函数用于寻找约束非线性多变量函数的最小值。这个函数怎么用？
这是语法格式：

%1.从 x0 开始，尝试在满足线性不等式 A*x ≤ b 的情况下寻找 fun 中所述的函数的最小值点 x。x0 可以是标量、向量或矩阵。
x = fmincon(fun,x0,A,b) 
%2.在满足线性等式 Aeq*x = beq 以及不等式 A*x ≤ b 的情况下最小化 fun。如果不存在不等式，则设置 A = [] 和 b = []。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) 
%3. 对x 中的设计变量定义一组下界和上界，使解始终在 lb ≤ x ≤ ub 范围内。如果不存在等式，请设置 Aeq = [] 和 beq = []。如果 x(i) 无下界，请设置 lb(i) = -Inf，如果 x(i) 无上界，请设置 ub(i) = Inf。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 
%4.使用 options 所指定的优化选项执行最小化。使用 optimoptions 可设置这些选项。如果没有非线性不等式或等式约束，请设置 nonlcon = []。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) 

参数什么意思？

b 和 beq 是向量，A 和 Aeq 是矩阵，c(x) 和 ceq(x) 是返回向量的函数，f(x) 是返回标量的函数。f(x)、c(x) 和 ceq(x) 可以是非线性函数。
x、lb 和 ub 可以作为向量或矩阵传递

四、线性不等式约束

 目标函数：

fun =   100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2

此时，需要定义函数是 x

fun =   @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2

约束条件：从点 [-1,2] 为起点求最小值，约束方程 x(1)+2x(2)≤1
matlab代码：

clc
clear all
 
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;%匿名函数
x0 = [-1,2];%起点可以更改，似乎没影响
A = [1,2];
b = 1;
[x,y] = fmincon(fun,x0,A,b)%套用函数

运行：

五、线性不等式和等式约束

求如下：

 matlab代码：

clc
clear all
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;%匿名函数
 
x0 = [1,1];%初始点设置自行不同
A = [1,-2];%不等式变量的系数
b = 1;%不等式右边的值
Aeq = [2,1];%等式变量的系数
beq = 1;%等式右边的值
[x,y] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)%求解x的值和此时函数值y

结果：

六、带有非线性约束的求最值

 目标函数：

min f (x) = x1^2 + x2^2 + x3^2 + 8

约束条件：

x1^2 − x2 + x3 ^2 ≥ 0
x1 + x2^2 + x3 ^3 ≤ 20
− x1 − x2^2 + 2 = 0
x2 + 2x3^2 = 3x1
x1,x2 , x3 ≥ 0

matlab解法：

1.主函数

%% 主函数
options=optimset('largescale','off');
[x,y] = fmincon(@fun,rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[], @nonlcon, options)

2.目标函数（以 end 结束）

目标函数为最小化函数，fun是一个函数，fun接受向量或数组 x，并返回实数标量 f，即在 x 处计算的目标函数值。

%% 目标函数
function f=fun(x)
f=sum(x.^2)+8;
end

3.添加约束条件（以 end 结束）

非线性约束条件，nonlcon是一个函数，接受向量或数组 x，并返回两个数组 c(x) 和 ceq(x)。

%% 非线性约束条件
function [c,ceq]=nonlcon(x)
c=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
    x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];  %非线性不等式约束
ceq=[-x(1)-x(2)^2+2
   x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束
end

 总代码：（需先分别定义目标函数和约束条件，最后用主函数求解）

clc
clear all
%% 主函数
options=optimset('largescale','off');
[x,y] = fmincon(@fun,rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[], @nonlcon, options)
 
%% 目标函数
function f=fun(x)
f=sum(x.^2)+8;
end
 
%% 非线性约束条件
function [c,ceq]=nonlcon(x)
c=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
    x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];  %非线性不等式约束
ceq=[-x(1)-x(2)^2+2
   x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束
end

运行：

七、非线性约束

在边界约束下求 目标函数在圆内最小的点。目标函数：

fun =   (x)100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2

进一步可以匿名函数得到：

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

约束条件：

 0 ≤ x (1) ≤ 0.5 0
 0.2≤x(2)≤0.8

这一步可以得到：

lb = [0,0.2];
ub = [0.5,0.8];

同时在以 [1/3,1/3] 为圆心、半径为 1/3 的圆内寻找，可以编写一个函数代码如下：

function [c,ceq] = circle(x)
c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2;
ceq = [];

没有线性约束因此将这些参数设置为 []（空值）

A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];

因此全部代码为：
函数代码：

function [c,ceq] = circle(x)
c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2;
ceq = [];
end

主代码：

clc 
clear all
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
lb = [0,0.2];
ub = [0.5,0.8];
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
x0 = [1/4,1/4];
 
 
nonlcon = @circle;
[x,y] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

运行：

 总结：

已经学习第三天了，深深感觉到了自己能力的提升，不只体现在编程方面，其他方面也一样，码字速度是深深有感觉！！