动态规划案例（python版本）_设备更新问题是背包问题吗

最近几天一直在看有关动态规划的算法，整理了一些常见案例，主要是求最长公共子序列，最长公共子串，最长递增子序列，最长回文子串，硬币的组合数，硬币的最少组合方法，最小编辑距离，背包问题（01背包，完全背包，多重背包）等方面的经典案例求解。

这些案例大部分都是用python实现的动态规划算法。

案例一：求最长公共子序列（不一定连续）

Q：给定两个序列，找出在两个序列中同时出现的最长子序列的长度。一个子序列是出现在相对顺序的序列，但不一定是连续的。

分析：

• 假设str1的长度为M，str2的长度为N,生成的大小为M*N的矩阵dp。dp[i][j]的含义是str[0...i]与str2[0...j]的最长公共子序列的长度。
• 矩阵dp第一列，即dp[i][0]，代表str1[0...i]与str2[0]的最长公共子序列长度。str2[0]只有一个字符，所以dp[i][0]最大为1，如果str[i] == str2[0]，则令dp[i][0]为1，一旦dp[i][0]被设为1，则令dp[i+1...M][0]全部为1
• 矩阵dp第一行，即dp[0][j]，与步骤1同理。如果str1[0]==str[j],则令dp[0][j]为1，一旦dp[0][j]被设为1，则令dp[0][j+1...N]全部为1
• 其他位置，dp[i][j]的值只可能来自一下三种情况，三种可能的值中，选择最大的值即可：

1.  情况一：可能是dp[i-1][j]的值，这代表str1[0....i-1]与str2[0...j]的最长公共子序列长度。    举例：str1 = "A1BC2", str2 = "AB34C"    str1[0..3]为"A1BC",str2[0...4]为"AB34C",这两部分最长公共子序列为"ABC",即dp[3][4]为3.      str1整体和str2整体最长公共子序列也是"ABC"，所以dp[4][4]可能来自dp[3][4]
2. 情况二：同理可知，dp[i][j]的值也可能是dp[i][j-1]
3. 情况三：如果str1[i]==str2[j],还可能是dp[i-1][j-1]+1的值。    举例：比如str1 ="ABCD", str2 = "ABCD". str1[0...2]即“ABC”与str2[0...2]即“ABC”的最长公共子序列为"ABC",也就是dp[2][2]为3。因为str1和str2的最后一个字符都是"D",所以dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1

代码：

def findLongest(self, A, n, B, m):  
    #新建一个m行n列的矩阵  
    matrix = [0] * m * n  
    #1、矩阵的第一行，即matrix[0][i]，代表str1[0]与str2[0...n]的最长公共子串.  
    # str2[0]只有一个字符，所以matrix[i][0]最大为1  
    for i in range(n):  
        if A[i] == B[0]:  
            for j in range(i,n):  
                matrix[j] = 1  
    #2、矩阵的第一列，matrix[i][0]最大为1  
    for i in range(m):  
        if B[i] == A[0]:  
            for j in range(i,m):  
                matrix[j*n] = 1  
    #3、其他位置,matrix[i][j]有三种情况，matrix[m][n]即为所求的最长公共子序列长度  
    for i in range(1,m):  
        for j in range(1,n):  
            if B[i] == A[j]:  
                matrix[i*n+j] = max(matrix[(i-1)*n+j-1]+1,matrix[(i-1)*n+j],matrix[i*n+j-1])  
            else:  
                matrix[i*n+j] = max(matrix[(i-1)*n+j],matrix[i*n+j-1])  
    return matrix[m*n-1]  

案例二：求最长公共子串（连续）

Q：给定两个序列，找出在两个序列中同时出现的最长子序列的长度。子串的意思是要求为连续的子序列

分析：

矩阵的第一行，即matrix[0][i]，代表str1[0]与str2[0...n]的最长公共子串.

与案例一中的前两步相同，只是最后一步不同。

代码：