数据结构之算法的时间与空间复杂度_以下算法的时间复杂度为( )。 def fun(n): i=1 while i<=n: i+=1

数据结构之算法的时间与空间复杂度

1.算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了极高的水平。所以如今我们已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2.时间复杂度

2.1.什么是时间复杂度

基本概念：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不可以算出来的，只有把程序放到计算机上跑起来，才可以测试出来。但是我们需要每个算法都上机测试，这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2.2 大O的渐进表示法

2.2.1.例题分析

例：请计算Func基本操作执行了多少次？

void Func(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N ; ++ i)
	{
		for (int j = 0; j < N ; ++ j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
} 
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Func1 执行的基本操作次数为 ：

F(N) = N^2 + 2*N + 10;

1.若 N = 10 F(N) = 130
2.若 N = 100 F(N) = 10210
3.若 N = 1000 F(N) = 1002010
…

在实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，我们使用大O的渐进表示法。

2.2.2.大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：
1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func的时间复杂度为：

1.若 N = 10 F(N) = 100
2.若 N = 100 F(N) = 10000
3.若 N = 1000 F(N) = 1000000
…

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到 （数据在数组开头）
最坏情况：N次找到 （数据在数组末尾)
平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N) 。

2.3.时间复杂度计算例题

1. 计算Func1的时间复杂度

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
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解答：func1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法可知，func1的时间复杂度为 O(N)

2. 计算func2的时间复杂度

void Func2(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++ k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
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解答：func2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，故时间复杂度为 O(N+M)

3. 计算func3的时间复杂度

void Func3(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
} 
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解答： func3基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，10为常数，故时间复杂度为 O(1) 。

4. 计算二分查找的时间复杂度。

int BinaryFind(int *a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while(begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if(a[mid] == x)
			return mid;
			
		else if(a[mid] > x)
			end = mid - 1;
			
		else
			begin = mid + 1;
	}
	return -1;
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解答：二分查找基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次 (2^x = N;x = logN)，故时间复杂度为 O(logN) .(logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N.)

5.计算递归斐波那契数列的时间复杂度

unsigned int Fibonacci(size_t N)
{
	if(N < 2)
		return N;
	return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}
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解答：通过计算分析发现斐波那契数列递归了2^N 次，时间复杂度为O(2^N)。

3.空间复杂度

3.1.什么是空间复杂度

基本概念：空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用了多少字节的空间，因为这个没有意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

3.2.空间复杂度计算例题

1. 计算冒泡排序的空间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	int end = n - 1;
	while(end >= 0)
	{
		int exchange = 0;
		for(int i = 0; i < end; i++)
		{
			if(a[i] > a[i + 1])
			{
				int tmp = a[i];
				a[i] = a[i + 1];
				a[i + 1] = tmp; 
				exchange = 1;
			}
		}
		--end;
		if(exchange == 0)
			break;
	}
}
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冒泡排序使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

2. 计算阶乘递归斐波那契数列的空间复杂度

unsigned int Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}
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斐波那契数列递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)