【安徽省机器人大赛程序设计赛道（本科组）】C 联合密码、D 环保宣传 | 非专业题解_csdn安徽省大学生程序设计竞赛 j环保能力

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题目C 联合密码

题目说明

  环保部门在城市工业区设置了环境污染物检测和预警实验室，实验室会收集工业区附近的地表及地下水系统的样本并进行检测，同时保存过往的数据用于比对。因此实验室安装了一个特殊的门禁系统，每隔一段时间就会进行调整，避免工作人员不小心对外透露相关信息。
  这款门禁系统的密码是若干个公式，每次使用2 个，然后按照要求求出指定的结果，小李今天拿到了其中 2 个，其中一个是 (x^2+a)^0.5，另一个是 ((b‐x)^2+1)^0.5。a 和 b 的信息会显示在屏幕上，今天的要求是求两个公式和的最小值。

输入说明：
  输入 a、b 两个非负实数
输出说明：
  输出表达式的最小值，精确到小数点后 6 位。
输入样例：

4.000 4.000
1

输出样例：

5.000000
1

解题思路

  观察到两个公式 $\sqrt{x^2+a}$ 与 $\sqrt{(b-x{)}^2+1}$ 具有相似性，并且联想到平面上两点的距离公式 $d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$。将具体问题抽象成平面上的几何问题。

具体解法

  将两个公式分别转化为 $\sqrt{(x-0{)}^2+(0-a{)}^2}$ 与 $\sqrt{(x-b{)}^2+(0-1{)}^2}$。
  抽象出平面中的三点 $P(x,0)$, $A(0,\sqrt{a})$, $B(b,1)$。如图所示，坐标系中的折线 $APB$ 的长度即为所要求的两个公式和的最小值。

  观察到 $P$点 只在 $x$轴 上移动，作点 $B^{\prime }(b,-1)$，为 $B$点 关于 $x$轴 的对称点。这样，折线 $APB$ 的长度即为折线 $AP{B}^{\prime }$ 的长度。那么，两个公式和的最小值即为折线 $AP{B}^{\prime }$ 的最小值，即 $d_{AB}=\sqrt{(0-b{)}^2+(\sqrt{a}+1{)}^2}$，对于任意的 a 与 b 就都有唯一的 $d_{AB}$ 与之对应。在代码中反映为 min = sqrt(b * b + a + 2 * sqrt(a) + 1); 一般地，sqrt() 因编译器和平台而异，使用牛顿迭代法或二分法来实现，对于本题中所要求的运算精度，该方法可实现目标。

运行结果

CPP源码

#include <iostream>
#include <iomanip> 
#include <cmath>

using namespace std;

int main(){
	double a, b, min;
	cin >> a >> b;
	
	min = sqrt(b * b + a + 2 * sqrt(a) + 1);
	
	cout << setprecision(6) << fixed << min;
	
	return 0;
}
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题目D 环保宣传

题目说明

  随着人们对环境的日益关注，H 市政府正在寻找减少碳排放和促进可持续生活的方法。然而，许多人仍然依赖汽车作为交通工具，对改变他们的习惯有抵触情绪。
  政府已经发明了一种新的宣传装置，使用积极的宣传手段来鼓励市民乘坐地铁而不是驾驶汽车。政府选择了一条道路将其作为一个宣传试验场地，以促进可持续交通，减少该市的碳足迹。这条道路可以看成一条直线，上面有 N 个和其他道路交错形成的路口，每个相邻的路口之间可以安装装置宣传到经过此段道路的市民。由于装置的价值昂贵，所以不能在每个相邻的路口之间安装装置进行宣传，所以政府决定选定 k 个相邻的路口，在路口之间安装装置进行宣传。关于每天在每对路口之间通行的市民数量的统计数据已经知晓(假设每位市民每天只通行一次，且从一个路口进，一个路口出)。现在，政府需要知道在哪些路口之间安装装置可以使得最多市民受到宣传，促进可持续交通和减少碳排放。请你帮忙计算收到宣传的最大市民数是多少。
输入说明：
  第一行包含两个整数 n , k ,表示道路经过的路口数和可以安装的装置数目。接下来 $n-1$ 行，每行包含 $n-i\left(1\le i\le n-1\right)$ 个整数，其中第 $j\left(1\le j\le n-1\right)$ 个数表示第 $i$ 个路口到第 $i+j$ 个路口之间的每天的通行市民数量。
输出说明：
  第一行包含一个整数，表示能够收到宣传的市民最大总数。
输入样例：

4 1
5 0 6
5 3
5
1
2
3
4

输出样例：

14
1

样例解释：
在第三个路口和第四个路口之间安装装置，可以有 $6+3+5=14$ 个市民受到宣传。
数据范围
$2\le n\le 500$
$1\le k\le n-1$
每对路口之间的市民数量不超过 100，可以假设每位乘客每天只有一次通行。

解题思路

  首先要意识到道路经过 n 个路口，就会构成 n-1 个路段，需要安装的装置必须是连续的路段，而且被宣传到的市民不能重复宣传。特别地，若 $k=1$，每一个长度为 1 的路段所通过的市民数量 $su{m}_i\left(1\le i\le n-1\right)$ 是唯一固定的（如图所示）。一般地，对于任意给定的 k 个装置，任意长度为 k 的长路段所通过的市民数量 $SU{M}_i\left(1\le i\le n-k\right)$ 也是唯一固定的。而且 $SU{M}_i$ 与 $SU{M}_{i+1}$ 之间有一定关系，可以考虑两者之间的递归函数。

具体解法

  构建一个二维数组 traffic[n + 1][n + 1] 用于存储每对路口之间的市民通行数量，traffic[i][j] 表示从第 i 个路口到第 j 个路口的市民通行数量。声明一个变量 SUM 用以表示 k 个相邻路段所组成的长路段市民通行总量，SUM_max 用以存储最大市民通行总量。初始时，$SU{M}_1$ 为 traffic 数组头下标为1的元素之和。后续，$SU{M}_i=SU{M}_{i-1}-{\sum }_{x=1}^{i-1}traffic[x][i]+{\sum }_{x=i+1}^{n}traffic[i][x]$ 。通过递归公式不断赋值给新的 SUM，不断比较更新 SUM_max。

运行结果

cpp源码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
	//n为路口数，k为可以安装的装置数目 
    int n, k;
    cin >> n >> k;

    //二维数组traffic用于存储每对路口之间的市民通行数量
    int traffic[n + 1][n + 1]; 
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = i + 1; j < n + 1; j++) 
            cin >> traffic[i][j];
    }
    
    //定义SUM_max为能宣传的最大人数
	int SUM = 0, SUM_max;
	for(int x = 2; x <= n; x++)   //求SUM1
		SUM += traffic[1][x];
	SUM_max = SUM;
	//cout << "SUM = " << SUM << endl;
	//cout << "SUM_max = " << SUM_max << endl;
	
	for(int i = 2; i <= n - k; i++){
		for(int x = 1; x <= i - 1; x++)
			SUM -= traffic[x][i];
		for(int x = i + 1; x <= n; x++)
			SUM += traffic[i][x];
		SUM_max = max(SUM_max, SUM);  //不断比较赋值 
		//cout << endl << "SUM = " << SUM << endl;
		//cout << "SUM_max = " << SUM_max << endl;
	}
	
    //输出能够收到宣传的市民最大总数
    cout << SUM_max << endl;

    return 0;
}
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非专业解法，仅供参考，欢迎指正！