高精度算法——高精度乘法

说明：

高精度乘法，会比高精加法、减法稍微难那么一点点，主要是乘法要用到，高精度加法去做，也就是说，如果高精度加法没有学好，高精度乘法也就会有点难理解了，但是吧，你既然搜到了并点到了这里，就说明你已经会高精度加法了，既然你已经会高精度加法了，就说明你知道为什么要用高精度了，就不再多说废话了。

模拟乘法：

• 首先我们得清楚乘法是怎么算的，才能更好地去模拟。
• 我们都知道是用9去一 一乘上面的数，先是9 * 3 再是9 * 2 最后是9 * 1，但是相乘有可能会超过10，所以就要有进位，这个是要时刻记得的，再之后的数组模拟时要用到
• 之后就是用 7 去一 一乘上面的数 7 * 2 再是 7 * 2 最后是 7 * 1，也是和9 一样要记得有进位时就进位。
• 最后就是两者相加了，因为可能两个相乘的数很大，所以导致这个相加的数也很大，所以知道为什么要会高精度加法了吗。好的，简单的介绍下乘法的模拟过程，接下来就真正开始用数组去模拟这个过程了。

数组模拟：

• 首先也是和高精度加法一样也是先要反转，为什么要反转就细说了，因为，你输入结束之后下标零是最高位，我们都是从个位开始乘的，所以要先反转。

for (int i = 0; i < str1.size(); i ++)
	a[i] = str1[str1.size()-1-i] - '0';
for (int i = 0; i < str2.size(); i ++)
	b[i] = str2[str2.size()-1-i] - '0';
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• 反转之后就可以进行模拟乘法了，再这里你会发现，这里没有求数字的长度，这是因为，乘法是每个数都要乘一遍，所以不需要，先求长度。

for (int i = 0; i < str1.size(); i ++) {
	for (int j = 0; j < str2.size(); j ++) {
		c[i+j] += a[i] * b[j];
		c[i+j+1] += c[i+j] / 10;
		c[i+j] = c[i+j] % 10;
	}
}
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• 这个代码肯定是有必要讲的，因为这是最核心一个部分。
• 首先为什么要用循环，以上面的为例，9 是不是乘了上面每一个数，不用循环怎么让它能乘到每一个数呢，这是第一层循环的作用，那么第二层呢，下面的每个数字是不是要乘上面的每个数字，这个一层循环就是要能让下面的数字都能乘到。
• c[i+j] += a[i] * b[i] ， 这里为什么要 i + j 呢，这里是精髓所在，你看我们这个上面是不是用了一个数乘，得到一个答案，然后用第二个数乘就要隔一个空，这个也为了要隔一个，i = 0时，j遍历完之后，i就等于1了，是不是就相当于隔了0 这个位置了，后面也是一样的。
• 但为什么又要用 += 这个运算符呢，这个就是为了模拟加法了，也是用上面的例子来讲，用9 乘完以后是不是等于1107，隔了7，i 此时等于1，这时i+j这个位置是不是就有数字了，所以就是当这个位置上有数字就要加上，不然不就没有最后那个加法的运算了嘛。
• c[i+j+1] += c[i+j] / 10 ， 这个就不用解释了吧，同高精度加法一样，也是为了进位用的，两数相乘可能超出十了，所以要进位， 这里的 += 也是一样，可能此时位置已经有值了，所以要一并加上。
• c[i+j] %= 10 ，这个也是同高精度加法一样，获取余数，，也就是这个位置应该有的值。
• 完成了最主要的部分，是不是就要输出啦，但是，还有个小小的为题就是前导零，因为可能，0 乘 一个 多位数的数字，这个就会得到很多零，但是我们只要输出一个零就可以了，所以就要去前导零。

int as = str1.size() + str2.size();
while (c[as-1] == 0 && as > 1)
    as -= 1;
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• 为什么要把两者的数字长度相加呢，如果你仔细观察你会发现，不管多大的数相乘最后的结果的位数，不会超过两者相加的大小，最大也就是两者相加的长度。
• 下面就是去前导零了，这个就不用讲了吧，既然你会高精度加法，这个肯定也是没问题的。
• 最后就是输出了。

for (int i = 0; i < as; i ++)
    cout << c[as-1-i];
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• 到这里应该都会了吧，现在你可以试试你学的成果（A*B Problem）

顺便把这题完整的代码也附上把：

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
const int N = 100000000;
int a[N], b[N], c[N];
int main()
{
    string str1;
    string str2;
    cin >> str1 >> str2;
    for (int i = 0; i < str1.size(); i ++)
        a[str1.size()-1-i] = str1[i] - '0';
    for (int i = 0; i < str2.size(); i ++)
        b[str2.size()-1-i] = str2[i] - '0';
    for (int i = 0; i < str1.size(); i ++){
        for (int j = 0; j < str2.size(); j ++){
            c[j+i] += a[i] * b[j];
            c[j+1+i] += c[j+i] / 10;
            c[j+i] %= 10;
        }
    }int as = str1.size() + str2.size();
    while (c[as-1] == 0 && as > 1)
        as -= 1;
    for (int i = 0; i < as; i ++)
        cout << c[as-1-i];
    return 0;
}
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