《Riemannian Geometric Statistics in Medical Image Analysis》每章概要

这篇博客介绍《Riemannian Geometric Statistics in Medical Image Analysis》（2019, Pennec）每章概要。

Part 1：Foundations of geometric statistics

Chapter1：Introduction to differential and Riemannian geometry

当数据呈现非线性时，数据空间的数学描述通常必须脱离欧式向量空间方便的线性结构。但是仍可以问：在保持数据能够准确建模的同时，从欧氏空间的情况中可以保留哪些数学性质。于是会发现，数据在局部上的性质和欧式向量空间很像，这正好符合流形的特点，所以我们才会用黎曼几何的方法研究。本章介绍曲线、长度、距离、测地线、曲率、平行传输、体积形式等基本概念和李群。

Chapter2：Statistics on manifolds

本章介绍黎曼流形上数据的基本统计量，包括欧氏空间中均值、主成分分析和回归在黎曼流形上的一般化。这种推广基于两种途径：通过几何和通过概率。前者例如，由于黎曼流形配备度量，所以可以用最小二乘做回归问题；对PCA和回归，用测地曲线一般化直线可以导出测地回归（ geodesic regression）等。对于后者，首先注意到欧氏空间中最小二乘法和极大似然估计是等价的，所以在黎曼流形上用概率做推广也是有可能的，并提供了 Fréchet mean, geodesic regression 和 principal geodesic analysis 的框架。

Chapter3：Manifold-valued image processing with SPD matrices

介绍用SPD（对称正定矩阵）处理DTI图像（MRI图像的一种）的方法，通过对数矩阵等引入仿射不变（ affine-invariant）性质及它诱导出的黎曼距离
$$dis{t}^2(P,Q)=Tr(L^2)+\beta Tr(L{)}^{2}withL=log(P^{-\frac{1}{2}}Q{P}^{-\frac{1}{2}})$$

Chapter4：Riemannian geometry on shapes and diffeomorphisms

介绍标志点集（landmark points）、曲线、曲面等形状的变化方法，最终引出大位移匹配（ Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping，LDDMM）算法。它可以用来计算不同形状间的微分同胚变换，用于图像配准。第五章引言说：“ The methodology developed in the previous chapters consists in endowing the Lie group with a left-(or right-) invariant metric, which turns the transformation group into a Riemannian manifold.”

Chapter5：Beyond Riemannian geometry

在计算解剖学，我们需要计算形状和变换的统计量，并把一点处的统计量移动到另一处（如从一个物体移到模板或者另一处）。前面几章包含的做法是赋予李群一个左（或右）不变度量，从而把变换群变成一个黎曼流形。然后我们可以使用 Fréchet mean, tangent PCA或PGA等工具。本章目标是介绍一些跟李群相关的算法的数学根基，他们是建立在仿射联络结构而非黎曼。

Part 2：Statistics on manifolds and shape spaces

Chapter6：Object shape representation via skeletal models (s-reps) and statistical analysis

有一些量可以描述物体的几何特征：如边界位置、边界法向、边界曲率。对bent slab型物体而言，还有一个量（object widths）很重要。Skeletal models是唯一能明确捕捉object widths、边界位置和边界法向的，并且在分割中能够提供先验概率。本章介绍skeletal model的一种形式，称为s-rep。

Chapter7：Efficient recursive estimation of the Riemannian barycenter on the hypersphere and the special orthogonal group with applications

分析流形值数据的一个最流行的统计量是数据的summary，即 the Riemannian barycenter (Fréchet mean, FM)。在大部分文献中，作者都使用梯度下降形式的迭代计算，而这些方法的缺点导致了 incremental方法的诞生。本章中作者提出了一种新颖的估计方法： incremental FM estimator(iFME)，来处理从超球面和特殊正交群这两个特殊的黎曼流形中采集的数据。

Chapter8：Statistics on stratified spaces

大部分统计方法都建立在如下假设：数据分布在有限维向量空间。而我们这本书的其他几章基于数据分布在光滑流形上的假设，介绍了很多方法。本章又考虑一个不同的数据空间：数据并不在每点都有光滑流形结构，并且不同点所在空间维数可能变化。这就是所谓的分层空间（stratified spaces）。本章分析了很多例子，主要是树形结构（tree）。

Chapter9：Bias on estimation in quotient space and correction methods

在很多问题中，解剖结构的位置和方向信息对于研究的目标无用；我们只关心形状。从数学上说，我们是研究了关于平移和旋转等价的一类数据。这就导致了把数据投影到一个商空间的想法。一个发掘形状数据特征的方法是求商空间中的Fréchet mean（对应的术语称为模板template），对应的步骤称为max–max algorithm。
本章关心模板评估时是否会产生偏差。作者用黎曼几何和商空间中的统计方法表明了：在一些条件下，确实会产生偏差。

Chapter10：Probabilistic approaches to geometric statistics

——Stochastic processes, transition distributions, and fiber bundle geometry
把欧氏空间中的统计概念搬到流形上时，常聚焦于欧氏空间的特殊性质并在流形上定义类似的性质，这种方式称为 geometric statistics，例如Fréchet mean和 PCA。但欧氏空间中等价的构造在有曲率的时候可能不再等价。例如欧氏空间中的mean value和 PCA可以通过极大似然估计和最小二乘法定义，但是到了流形上二者的定义不再等价。本章从标准欧氏线性隐变量模型
$$y=m+Wx+ϵ$$出发介绍处理含参概率分布的三个挑战，提供了新的技术手段。本章计划通过一种简便的方式（即，省去一些数学推导）介绍流形上的概率统计。

Chapter11：On shape analysis of functional data

本章介绍图像配准的一类框架，这属于形状分析（shape analysis）的范畴。近年来处理图像配准的一种方式是弹性形状分析（elastic shape analysis），其核心观点是赋予形状空间一个弹性的黎曼度量，这个度量在配准群（和其他无关群）的作用下具有适当的不变性。虽然这种弹性度量有些复杂，不太容易直接使用，特别是用于分析大型数据集时，但通常有一个平方根变换，将它们简化为标准的欧氏度量。这个观点是本章的主题。
本章聚焦于欧氏空间中曲线的形状分析问题，将重点放在文献[9]和[19]（即一种平方根表示的方法，可以用到任何欧氏空间中的曲线）的框架上，并通过多个涉及函数和曲线数据的示例来演示该方法。此外，弹性度量和平方根表示可以用在${\mathbb{R}}^3$中曲面的形状分析上。
粗略浏览了一下这一章，例子比较多，数学色彩比较浓。

Part 3：Deformations, diffeomorphisms and their applications

这整个部分都主要介绍了图像配准的方法，我目前不做图像配准，所以不打算详细看，只列出标题。

Chapter12：Fidelity metrics between curves and surfaces: currents,varifolds, and normal cycles

Chapter13：A discretize–optimize approach for LDDMM registration

Chapter14：Spatially adaptive metrics for diffeomorphic image matching in LDDMM

Chapter15： Low-dimensional shape analysis in the space of diffeomorphisms

Chapter16：Diffeomorphic density registration