算法基础——关于二分查找的那些事_小数二分

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二分查找的思路

二分查找也称为折半查找（binary search)，适用于顺序存储结构的线性表，且表中元素是有序排列的情况。对于一个顺序排列的数组而言，当查找区间有不止一个元素的时候（即左边界不超过右边界），每次循环取当前区间中间的元素与目标值比较，根据以下三种比较结果判断跳出循环或更新左右边界：

1. 目标值 = 中间元素
   此时正好在在当前区间的中间找到目标值，跳出循环。
2. 目标值 > 中间元素
   表示此时目标值在以中间元素为界的右区间，需要移动左边界以在右区间继续进行查找。
3. 目标值 < 中间元素
   表示此时目标值在以中间元素为界的左区间，需要移动右边界以在左区间继续进行查找。
   

算法复杂度

由于二分查找的适用场景为顺序表，因此空间复杂度为$O(1)$。
假设数组中有n个元素，且为顺序排列，如果进行进行二分查找过程如下：

• Step 1：在长度为n的区间中查找
• Step 2：在长度为 n / 2的区间中查找
• Step 3：在长度为 (n / 2) / 2 的区间中查找
• ……
• Step x：在长度为 n / (2 ^ (x - 1)) 的区间中查找

由此可见，若在最坏情况下经过x次查找寻找到答案，最终区间长度应为1，即：
$$n/2^{x-1}=1$$$$x=lo{g}_{2}n$$因此，二分查找的时间复杂度为$O(lo{g}_{2}n)$。

几种不同的二分查找

1. 普通二分

假设一个已经排好序的数组num中有n个元素，t为需要查找的目标值。

int binary_search(int t) {
	int l = 0, r = n - 1;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (num[mid] == x) {
            return 1;
        } else if (x > num[mid]) {
            l = mid + 1;
        } else {
            r = mid - 1;
        }
    }
    return 0;
}
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在缩减查找区间的时候，需要注意的是，每次都略过了mid这个中间元素。这是因为在前面的判断中已经确定了num[mid]不是我们需要的值，所以在下一次循环查找中，不需要将其包含在查找区间中。

2. 二分答案

在实际的问题中，有时二分的对象未必是答案，而是需要将二分的对象经过某些特殊运算得到的值进行判断，由此得到满足条件的解。此类型问题的答案通常具有单调性，且多数为边界值解（如求最大的最小值等），这类问题被统称为二分答案问题。

对于二分答案类型问题的思路，可以从二分的对象入手进行推导：

• 首先对于一组样例输入数据，找到符合条件的目标边界值。
• 取该值的相邻值进行判断，如果能满足条件则该侧均能满足条件（1），不满足条件则该侧均不能满足条件（0）。
• 据此可以建立起对应的代码模型，根据不同输入样例求解。

因此，二分答案的结果可以近似为两种类型：00001111型和11110000型。

两种类型的代码模版如下：

• 00001111型

  while (l != r) {
  	int mid = (l + r) / 2;
  	if (func(mid) >= t) { // t为目标查找数
  		r = mid;
  	} else {
  		l = mid + 1;
  	}
  }
  return r; // return l;
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  注意：

  • 移动右边界时，mid可能正好是答案，在新的查找区间中需要包含mid。
  • 移动左边界时，经过前面判断可知mid不是答案，所以在新的查找区间中不需要包含mid。
  • 最终左边界 = 右边界，查找区间不存在，此时l和r均为答案，二者任选其一即可。
    
    

• 11110000型

  while (l != r) {
  	int mid = (l + r + 1) / 2;
  	if (func(mid) <= t) { // t为目标查找数
  		l = mid;
  	} else {
  		r = mid - 1;
  	}
  }
  return l; // return r;
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  9

  注意：

  • 在查找区间只剩下两个元素的时候（10），如果仍然使用$mid=(l+r)/2$来计算mid，$mid=l$将会永远成立，查找区间不会缩小，导致死循环。所以需要使用$mid=(l+r+1)/2$向上取整来计算mid的值。
  • 移动左边界时，mid可能正好是答案，在新的查找区间中需要包含mid。
  • 移动右边界时，经过前面判断可知mid不是答案，所以在新的查找区间中不需要包含mid。
  • 最终左边界 = 右边界，查找区间不存在，此时l和r均为答案，二者任选其一即可。

3. 小数二分

对于小数二分，推导思路与上述两种问题一样，唯一需要注意的地方是循环的条件发生了变化。因为二分的对象为浮点型数据，查找区间应为开区间而不是闭区间了，所以不需要再判断左右边界是否相等，而是通过判断左右边界之间差值的精度（如r - l > 0.00001），近似的判断左右边界是否重合。