差分进化算法的基本流程包括初始化、变异、交叉和选择操作。首先，算法会随机生成足够多的初始个体，构成初始群体。然后，对于每个个体，根据固定的变异策略生成一个变异个体。接着，将原个体和变异个体进行交叉，得到一个新的个体。最后，将新个体与原个体进行比较，选择适应度更好的个体进入下一代。这个过程不断迭代，直到满足终止条件为止。具体流程如下。

2 具体流程

2.1 具体问题

目标函数：

$eq?min%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20y%3Dcos%28X_%7B_1%7D%29+sin%28X_%7B2%7D%29+%7BX_%7B1%7D%7D%5E%7B2%7D$

约束条件：

$eq?%7BX_%7Bj%7D%5E%7BL%7D%7D%3C%7BX_%7Bj%7D%7D%3C%7BX_%7Bj%7D%5E%7BU%7D%7D%2C%20j%3D1%2C2$

$eq?%5E%7B_%7B_%7B%7D%5E%7B%7D%7D%5E%7B%7D%7D$ $eq?X_%7Bj%7D%5E%7BL%7D%2CX_%7Bj%7D%5E%7BU%7D$ 分别为第 $eq?j$ 个基因的上下限。

2.2 种群的初始化

$eq?%7BX_%7Bij%7D%7D%3Drandom.uniform%28X_%7Bj%7D%5E%7BL%7D%2C%7BX_%7Bj%7D%5E%7BU%7D%7D%29$

$eq?X_%7Bij%7D$ 是种群中第 $eq?i$ 个个体的第 $eq?j$ 个基因值， $eq?random.uniform%28X_%7Bj%7D%5E%7BL%7D%2C%7BX_%7Bj%7D%5E%7BU%7D%7D%29$ 是在上下限中随机生成一个值。

2.3 变异

差分进化算法与遗传算法对的最显著区别在于DE的个体变异是通过差分策略实现的如下式所示：

$eq?V_%7Bi%7D%28g+1%29%3DX_%7Ba%7D%28g%29+F%5Ccdot%20%28X_%7Bb%7D%28g%29-X_%7Ba%7D%28g%29%29$

其中 $eq?V_%7Bi%7D%28g+1%29$ 是第 $eq?g+1$ 次迭代时第 $eq?i$ 个变异后的个体， $eq?X_%7Ba%7D%28g%29%2CX_%7Bb%7D%28g%29%2CX_%7Bc%7D%28g%29$ 是第 $eq?g$ 次迭代所产生的第 $eq?a%2Cb%2Cc$ 个个体， $eq?F$ 是缩放因子。

2.4 交叉

让第 $eq?g$ 次迭代产生的第 $eq?i$ 个个体 $eq?X_%7Bi%7D%28g%29$ ，和第 $eq?g+1$ 次迭代变异产生的第 $eq?i$ 个个体 $eq?V_%7Bi%7D%28g+1%29$ 进行交叉操作.

$eq?if%20%5C%3B%20%5C%2C%20%5C%2C%20rand%280%2C1%29%3CCR$ :

$eq?U_%7Bij%7D%28g+1%29%3DV_%7Bij%7D%28g+1%29$

$eq?else$ :

$eq?U_%7Bij%7D%28g+1%29%3DX_%7Bij%7D%28g%29$

$eq?CR$ 为交叉概率， $eq?U_%7Bij%7D%28g+1%29$ 为第 $eq?g+1$ 次迭代时交叉所产生的第 $eq?i$ 个个体的第 $eq?j$ 个基因。

2.5 选择

用贪婪算法来选择下一代的种群>

$eq?if%5C%2C%20%5C%3A%20%5C%2C%20f%28U_%7Bi%7D%28g+1%29%29%3Cf%28X_%7Bi%7D%28g+1%29%29$ :

$eq?X_%7Bi%7D%28g+1%29%3DU_%7Bi%7D%28g+1%29$

$eq?else$ :

$eq?X_%7Bi%7D%28g+1%29%3DX_%7Bi%7D%28g%29$

3 总结

差分进化算法以其强大的全局搜索能力、简单易实现的特性、快速的收敛速度以及高鲁棒性在优化问题中表现出色。该算法通过变异、交叉和选择操作在整个搜索空间中寻找最优解，仅需设置少量参数如种群大小、交叉概率和变异因子，便于实际应用中的调整和优化。同时，差分进化算法能够充分利用种群信息，快速收敛至最优解，处理复杂问题时效率较高。此外，该算法对初始种群和参数设置不敏感，性能稳定，且具备较好的抗噪声能力，适用于各种优化场景。

4 Pyhton具体代码（DE）


import math
import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
class De:
    def __init__(self,F,CR):
        self.F=F
        self.CR=CR
 
 
    def fitness(self,X):
        if self.pdhs(X)>=2:
            y = math.cos(X[:, 1]) + math.sin(X[:, 0]) + X[:, 1] ** 2
        else:
            y=math.cos(X[1]) + math.sin(X[0]) + X[1] ** 2
        return y
    def mutate(self,X):
        P=[]
        n,m=np.shape(X)
        X=np.array(X)
        a,b,c = random.sample(range(0, n), 3)
        #随机选择三个种群进行变异操作
        for i in range(n):
            t=X[a,:]+self.F*(X[b,:]-X[c,:])
            P.append(t)
        P=np.array(P)
        # print(P)
        return P
    def cross(self,X,P):
        NewP=[]
        n, m = np.shape(X)
        for i in range(n):
            temp = []
            for j in range(m):
                # 随机生成一个0-1之间的小数
                c = random.uniform(0, 1)
                # 如果c<=cr,则选择H中个体染色体
                if (c <= self.CR):
                    temp.append(X[i,j])
                else:
                    temp.append(P[i,j])
            # 将新产生的个个体加入新种群
            NewP.append(temp)
        return NewP
 
    def selection(self,X,NewP):
        Newpopulation = []
        NewP=np.array(NewP)
        n, m = np.shape(X)
        for i in range (n):
            if self.fitness(X[i,:])>self.fitness(NewP[i,:]):
                t=NewP[i,:].copy()
            else:
                t=X[i,:].copy()
            # print(t)
            Newpopulation.append(t)
        Newpopulation=np.array(Newpopulation)
        return Newpopulation
    def bestp(self,Newpopulation):
        n, m = np.shape(Newpopulation)
        bestpopulation=[]
        bestfitness=10000
        for i in range(n):
            if self.fitness(Newpopulation[i, :]) < bestfitness:
                bestpopulation=Newpopulation[i,:].copy()
        return bestpopulation,self.fitness(bestpopulation)
 
    def pdhs(self, X):
        m = np.shape(X)
        # 数组维度至少为2D时返回行数，否则返回错误信息
        if X.ndim >= 2:
            return m[0]
        else:
            return 1  # "输入不是二维数组，没有行的概念。"
 
 
#种群数量
N=1000
#特征数
M=2
De=De(F=0.8,CR=0.4)
#种群的生成
population = []
for i in range(N):
    chromosome = []  # 每个个体的染色体
    for j in range(M):
        chromosome.append(random.uniform(-2, 2))  # 自变量的范围是[-4,4]
    population.append(chromosome)
#迭代次数
population=np.array(population)
iters=100
#记录每次迭代的最优种群
besthistory=[]
iterss=[]
#种群更新全过程
for i in range(iters):
    #变异
    P=De.mutate(population)
    #交叉
    NewP=De.cross(population,P)
    #选择产生的下一代种群
    population=De.selection(population,NewP)
    bestpopulation,bestfitness=De.bestp(population)
    besthistory.append(bestfitness)
    iterss.append(i)
    print("第{}次迭代,最优种群为：{},最优适应度：{}".format(i+1,bestpopulation,bestfitness))
#迭代图像绘制
plt.rcParams["font.sans-serif"] = "SimHei"#汉字乱码的解决方法
plt.plot(iterss,besthistory,color='g')
#坐标题目绘制
plt.xlabel("迭代次数")
plt.ylabel("每次迭代的最优适应度")
plt.show()

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