单链表环问题的证明_单链表环入口证明

Mar 2, 2016

首先声明一下节点的定义。

struct Node
{
	int val;
	Node* next;
public:
	Node(int v) :val(v), next(NULL)
	{}
};
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本文的符号图示如下：

1、判断链表是否带环
判断链表是否带环，可以在头结点设两个指针，一个叫fast，一个叫slow，fast一下走两步，而slow一下走一步。如果链表中存在环的话，那么fast和slow必定会在环中相遇。若链表中没有环的话，那么fast必定先于slow指针先到达链表的尾节点。
建立数学模型证明如下：
令环长度为k，环节点编号为0，1，2，…，k-1。首先来看两节点初始都在节点0的时候的情况，时间t的时候两个指针的位置节点分别为$t\%k$和$2t\%k$，节点相遇的时候有
$$t\%k=2t\%k\text{\hspace{1em}(1)}$$
这个模型肯定有解，比如t等于k的整数倍这个时候正好相遇在起点。现在主要讨论除此之外还会在别的点相遇吗？这时的问题转化为等式2有解吗？
$$t\%k=2t\%k\text{\hspace{1em}(2.1)}$$
$$0<t\%k<k\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
将(2_1)转化为$t\%k=(t\%k+t\%k)\%k$可见，等式右边不等于等式左边的，只有在两边都是零的时候才成立。
现在看看两个指针在刚开始的时候不是同时进入环的情况，因此将模型修改为
$$t\%k=(2t\%k+b)\%k\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中$0\le b<k$，表示慢指针进入环的时候快指针所在的位置，这里假设环的入口节点编号为0。对等式3求解可得$(t+b)\%k=0$。综上可知若存在环，两个指针必定相遇，并且在慢指针到达节点k-b的时候相遇。
代码如下：

class Solution
{
public:
	bool HasCirclaInList(Node * pHead)
	{
		Node* pFast = pHead, *pSlow = pHead;
		while (true)
		{
			if (pFast->next != NULL && pFast->next->next != NULL)
				pFast = pFast->next->next;
			else
				return false;
			pSlow = pSlow->next;
			if (pFast == pSlow)
				return true;
		}
		return NULL;
	}
};
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2、求环长
当知道两个指针在环内的交点后，找一个指针在环内转一圈所走的步数即是这个环的长度。
这里有一个问题：可否用第一次相遇以前快指针走的步数减去满指针走的步数呢？答案是否定的，因为满指针进入的时候快指针可能已经转了不止一圈了，并且如果第一次相遇点编号大于k/2的时候，快指针在满指针进入环以后要在第二次赶上满指针的时候才能相遇。

class Solution
{
public:
	int LengthOfCircleInList(Node* pHead)
	{
		Node* pFast = pHead, *pSlow = pHead;
		bool flag = false;
		while (true)
		{
			if (pFast->next != NULL && pFast->next->next != NULL)
				pFast = pFast->next->next;
			else
				break;
			pSlow = pSlow->next;
			if (pFast == pSlow)
			{
				flag = true;
				break;
			}
		}
		if (flag)
		{
			int length = 1;
			Node* pNode = pSlow;
			while (pSlow->next != pNode)
			{
				pSlow = pSlow->next;
				length++;
			}
			return length;
		}
		else
			return 0;
	}
};
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3、求环的入口点
求解思路，找到第一次相遇点以后，将pSlow重新指向pHead，同时将pFast速度降为1，等到再次相遇的节点就是环的入口节点。
数学证明如下：
假设相遇点节点编号为c，有
t=a+c
2t=a+c+Nk
所以(a+c)%k=0，即证。

class Solution
{
public:
	Node* EntranceOfCircleInList(Node* pHead)
	{
		Node* pFast = pHead, *pSlow = pHead;
		bool flag = false;
		while (true)
		{
			if (pFast->next != NULL && pFast->next->next != NULL)
				pFast = pFast->next->next;
			else
				break;
			pSlow = pSlow->next;
			if (pFast == pSlow)
			{
				flag = true;
				break;
			}
		}
		if (flag)
		{
			pSlow = pHead;
			while (pSlow != pFast)
			{
				pSlow = pSlow->next;
				pFast = pFast->next;
			}
			return pSlow;
		}
		else
			return NULL;
	}
};
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