图解B树和B+树_6、画出b树与b+树的数据结构示意图?

B树

B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉平衡查找树，多叉就是多个分支的意思，二叉树就是最多只有两个分支的树。如下图所示，即是一棵 B树。

    

一棵 m 阶的 B 树必须满足如下条件：

    1）每个结点最多含有 m 个分支，也就是说：每个节点最多 m−1 个关键字。

    2）根节点最少可以有 1 个关键字，其它节点最少有 ⌈m2⌉−1 个关键字。

    3）每个节点的内部结构为：n 为节点中关键字的个数，Ki,i=1,2,...,n 为关键字，从小到大排列，Pi,i=0,1,...,n为指向关键字满足

       [Ki,Ki+1]范围的孩子节点。

       

这里认为上面的 B 树高度为 3，第三层就是叶子节点。至于有些材料说那些 null 是叶子节点，上述B树为4层，简直扯淡。

这里，我们再结合数据库索引说一下B树的用途，例如在SQLite中，使用了B树和B+树，如果key只是一个int值（比如主键，而不是整条数据库中的一条记录），那么将int值作为key存到B树中，会比存到B+树中更高效，因为B树的中间节点已经附带了key，而这些key是不需要在叶子节点中再保存一份的，也就是叶子结点和内部节点没有key的交集。但是如果把record也都放到了节点中，则B树就不如B+树快了，因为SQLite为了加快搜索，一个节点一般都是物理磁盘页的整数倍，所以在相同的node占用空间大小的情况下，B树的一个node存放的item更少（因为record肯定比4字节大），造成树更高，而B+ 树的一个节点就会存放更多item，树更矮，查找效率更高。

B 树的节点类型定义如下，这个定义只是用来查找内存数据的（也就是逻辑结构，主要是为了讲解和程序中快速获取对应的字段，并不是磁盘上的存储结构），如果用来查找外存，代码需要调整一下，下面叙述。

B 树设计的目的是用来查找磁盘的，为了简单，假设每个盘块正好存放一个 B树的结点,这里用少量数据构造一棵 3 叉树的形式，来描述文件查找的具体过程（下面这个B树是一个磁盘文件索引树，操作系统一般都提供了对某个盘的建立索引的功能）。

    

 

上面的图中比如根结点，其中 17 表示一个磁盘文件的文件名（是一个string类型，而不是int）；小红方块表示这个 17 文件内容在硬盘中的存储位置；P1表示指向 17 左子树的指针。

此时节点类型定义如下：

下面来模拟下查找文件 29 的过程：

    1）根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块 1，将其中的信息导入内存。【磁盘 IO 操作 1 次】 

    2）此时内存中有两个文件名 17、35 和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：17<29<35，因此我们找到指针 P2。

    3）根据 P2 指针，我们定位到磁盘块 3，并将其中的信息导入内存。【磁盘 IO 操作 2 次】

    4）此时内存中有两个文件名 26、30 和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：26<29<30，因此我们找到指针 P2。

    5）根据 P2 指针，我们定位到磁盘块 8，并将其中的信息导入内存。【磁盘 IO 操作 3 次】

    6）此时内存中有两个文件名 28、29。根据算法我们查找到文件名 29，并定位了该文件内存的磁盘地址。

分析上面的过程，发现需要 3 次磁盘 IO 操作和 3 次内存查找操作。关于内存中的文件名查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。

至于 IO操作是影响整个 B 树查找效率的决定因素。

根据上面的例子我们可以看出，对于辅存做 IO 读的次数取决于 B 树的高度。而 B 树的高度由什么决定的呢？

问题：一棵 m 阶 B树，关键字个数为 n，求高度 h(不包含叶子节点)的取值范围。

 

无论是兄弟够借还是兄弟不够借，都要让父节点的一个关键字下来，如果兄弟够借，则让兄弟还父节点一个关键字，否则就不还了， 并且将自身、兄弟节点与借下来的关键字合并。如果没有还父节点一个关键字，此时需要递归判断父节点是否违背了条件。若违反条件则继续让祖父节点中的关键字先来，然后又是兄弟够不够借的问题。

    b. 当被删除的关键字不在终端节点：用需要被删除关键字的前驱关键字或后继关键字替换后，会变成情况 1。

       找前驱：就是从关键字 k 所在节点的左子树一直往右找。找后继：从关键字 k 所在节点的右子树一直往左找。举个例子：

       如下图，要删除的项在非叶子节点上。比如删除关键字 M。

           

       找到对应的中序前驱，从关键字 M 左边的指针指向的左子树开始一直往右走，最终可以找到前驱为 L，将 L,M做个交换，此时 M 在叶子节点上，删除 M，如上右图。删除之后树不平衡，但发现兄弟节点可以借项给它，按照情况 1 进行调整即可，调整后如下图：

        

 

B+ 树：是应文件系统所需而产生的一种 B 树的变形树。一棵 m 阶的 B+ 树和 m阶的 B 树的异同点在于：

    1）每个节点分支数和 B 树一致。

    2）B+ 树节点内关键字的个数就等于该节点的分支数，而不是如 B 树那样减 1。

    3）B+ 树改进了 B 树, 让内结点只作索引使用, 去掉了其中指向 data record 的指针, 使得每个结点中能够存放更多的 key, 因此能有更大的出度。

       下面左图是 B 树，右图是 B+ 树。data 就是文件地址。

              

    4）所有父节点的元素都同时存在于子节点，是子节点中是最大（或最小）元素。举个例子：

            

       在上面这棵树中，根节点的元素 8 是节点 2,5,8 和 节点 6,8的最大元素，15 也是一样的。

   5）由于 4），所以 B+ 树的叶子节点会包含全部的关键字信息，并且每个叶子节点包含指向相应记录的指针，所有叶子节点形成一个链表。

为什么说 B+ 树比 B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？

   1）B+树的磁盘读写代价更低：B+ 树的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对 B 树更小。如果把所有同一内 部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO 读写次数也就降低了。

   2）B+ 树的查询效率更加稳定：由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。