2024蓝桥杯每日一题（分解质因数）_阶乘分解所有质因数的个数 python

备战2024年蓝桥杯 -- 每日一题
Python大学A组

        试题一：约数个数
        试题二：分解质因数
        试题三：质因数个数
        试题四：完全平方数
        试题五：阶乘分解

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试题一：约数个数

【题目描述】

        输入 n 个整数，依次输出每个数的约数的个数。

【输入格式】

        第一行包含整数 n。

        第二行包含 n 个整数 ai。

【输出格式】

        共 n 行，按顺序每行输出一个给定整数的约数的个数。

【数据范围】

        1≤n≤1000
        1≤ai≤109

【输入样例】

5
1 3 4 6 12

【输出样例】

1
2
3
4
6

【解题思路】

        模板题

【Python程序代码】

n = int(input())
s = list(map(int,input().split()))
for _ in range(n):
    x = s[_]
    res,i = 0,1
    while i*i<=x:
        if x%i==0:
            res += 1
            if x//i != i:
                res += 1
        i += 1
    print(res)

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试题二：分解质因数

【题目描述】

        给定 n 个正整数 ai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

【输入格式】

        第一行包含整数 n。

        接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。

【输出格式】

        对于每个正整数 ai，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

        每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

【数据范围】

        1≤n≤100,
        2≤ai≤2×109

【输入样例】

2
6
8

【输出样例】

2 1
3 1
 
2 3

【解题思路】

        模板题

【Python程序代码】

n = int(input())
for i in range(n):
    x = int(input())
    i = 2
    while i*i <= x:
        if x%i==0:
            ct = 0
            while x%i==0:
                ct+=1
                x//=i
            print(i,ct)
        i += 1
    if x>1:
        print(x,1)
    print()

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试题三：质因数个数

【题目描述】

        给定正整数 n，请问有多少个质数是 n 的约数。

【输入格式】

        输入的第一行包含一个整数 n。

【输出格式】

        输出一个整数，表示 n 的质数约数个数。

【数据范围】

        对于 30%30% 的评测用例，1≤n≤10000
        对于 60%60% 的评测用例，1≤n≤109
        对于所有评测用例，1≤n≤1016

【输入样例】

396

【输出样例】

3

【解题思路】

        模板题

【Python程序代码】

n = int(input())
i,res =2,0
while i*i<=n:
    if n%i==0:
        res += 1
        while n%i==0:
            n//=i
    i +=1
if n>1:res +=1
print(res)

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试题四：完全平方数

【题目描述】

        一个整数 a 是一个完全平方数，是指它是某一个整数的平方，即存在一个整数 b，使得 a=b2。

        给定一个正整数 n，请找到最小的正整数 x，使得它们的乘积是一个完全平方数。

【输入格式】

        输入一行包含一个正整数 n。

【输出格式】

        输出找到的最小的正整数 x。

【数据范围】

        对于 30%30% 的评测用例，1≤n≤1000，答案不超过 1000。
        对于 60%60% 的评测用例，1≤n≤108，答案不超过 108。
        对于所有评测用例，1≤n≤1012，答案不超过 1012。

【输入样例】

12

【输出样例】

3

【解题思路】

        质因数分解，指数为计数的数相乘就是答案

【Python程序代码】

n = int(input())
i,res = 2,1
while i*i<=n:
    if n%i==0:
        ct = 0 
        while n%i==0:
            ct+=1
            n//=i
        if ct%2:res*=i
    i+= 1
if n>1:res*=n
print(res)

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试题五：阶乘分解

【题目描述】

        给定整数 N，试把阶乘 N! 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 pi 和 ci 即可。

【输入格式】

        一个整数 N。

【输出格式】

        N!分解质因数后的结果，共若干行，每行一对 pi,ci，表示含有 pcii 项。按照 pi 从小到大的顺序输出。

【数据范围】

        3≤N≤106

【输入样例】

3

【输出样例】

2 3
3 1
5 1

【解题思路】

        用除法解决，一个质数i在n!中的指数为n/i + n/i*i + n/i*i*i + ...

【Python程序代码】

n = int(input())
primes,st = [],[0]*(n+10)
def get_primes():
    for i in range(2,n+1):
        if not st[i]:
            primes.append(i)
        j = 0
        while primes[j]*i<=n:
            k = primes[j]*i
            st[k] = 1
            if i%primes[j]==0:break
            j += 1
get_primes()
for i in primes:
    ct,t = 0,n
    while t:
        ct += t//i
        t//=i
    print(i,ct)