机器学习---算法基础（十）EM算法_机器学习em算法
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EM算法概述
EM算法即期望最大化(Expection Maximization)算法。是一种迭代算法，作为一种数据添加算法，在现在的DL学习中经常见到。
隐变量
隐变量指的是不可观测的随机变量，我们通常通过可以观测的变量来对隐变量来进行推测。例如我们知道1000个人的身高体重，但是我们并不了解这些样本中的男女比例，对于男女比例来说就是一个隐变量。
EM算法的感性理解
对于EM算法简单的说可以理解为以下几步：
- 预测非隐变量的参数（E）
- 根据预测的非隐变量的参数，估算隐变量（M）
- 根据预测出的隐变量再重新更新非隐变量。。。
目前存在以下的数据：
假设现在有两枚硬币1和2，,随机抛掷后正面朝上概率分别为P1，P2。为了估计这两个概率，做实验，每次取一枚硬币，连掷5下，记录下结果，如下：
其中使用哪种硬币就可以算作是隐变量。
我们首先假设两个硬币向上的概率为0.2和0.7。则在已知样本状况的情况下，在我们假设的概率下，发生的概率（可能性）如下所示：
利用上面这个表，我们可以算出每轮抛掷中使用硬币1或者使用硬币2的概率。比如第1轮，使用硬币1的概率是：
0.00512/(0.00512+0.03087)=0.14
使用硬币2的概率是1-0.14=0.86
依次可以算出其他4轮的概率，如下：
上表中的右两列表示期望值。看第一行，0.86表示，从期望的角度看，这轮抛掷使用硬币2的概率是0.86。相比按照最大似然概率，直接将第1轮估计为用的硬币2，此时的我们更加谨慎，我们只说，有0.14的概率是硬币1，有0.86的概率是硬币2，不再是非此即彼。
这样我们在估计P1或者P2时，就可以用上全部的数据，而不是部分的数据，显然这样会更好一些。
这一步，我们实际上是估计出了z的概率分布，这步被称作E步。
我们按照期望最大似然概率的法则来估计新的P1和P2：
以P1估计为例，第1轮的3正2反相当于
0.143=0.42正
0.142=0.28反
依次算出其他四轮，列表如下：
P1=4.22/(4.22+7.98)=0.35
可以看到，改变了z值的估计方法后，新估计出的P1要更加接近0.4。原因就是我们使用了所有抛掷的数据，而不是之前只使用了部分的数据。
这步中，我们根据E步中求出的z的概率分布，依据最大似然概率法则去估计P1和P2，被称作M步。
EM算法公式推导
最大似然函数为：
其中theta为我们所需要求的未知参数。
式(1)将p (xi) 用边缘分布列反向拆分为联合分布。
接下来，定义隐含变量Z的分布Qi：
我们在(1)式的 ln 里，分子分母同乘一个值，得到(2)式：
接下来需要利用到Jensen不等式和数学期望，在期望方程中，我们用到了
如上公式。套用在(2)式中，我们定义为：
套用到Jensen不等式中，即为：
根据Jensen不等式，其中lnx为凹，公式如下：
接下来我们将(4)式展开，得到如下：
那么，我们可以得到L(θ) 和 (5) 的关系：
我们可以将(5)式看作是 θ 的函数，θ 又是概率模型中的参数，那么上式求得的左式，即为L(θ)的下界。
我们求θ的过程，可以看作图中右移的过程， 在给定θ之后，求Qi的过程，即为上移的过程。
