算法-动态规划入门（C++实现）_c++动态规划

     对于一个固定的问题，他的答案也许是唯一的，但实现正确代码的方式却可以有很多。身为一个典型的平均智商人类，我肯定希望能够省时省力的找到正确答案，而这就取决于算法的使用，这也是算法的魅力。下面我想总结的是动态规划算法。

     动态规划（Dynamic programming），基本思想是将问题分解为若干子问题，先对子问题进行求解，再将子问题的解结合得到原问题的解，这点与分治法较为类似。但与分治法不同的是，动态规划能够解决分治法解决不了的子问题互相独立的情况。

       其实，不同的子问题的数量大多数只有多项式的量级，分治法求解时子问题被重复的计算了太多次，导致算法效率的降低。如果我们在解决子问题的同时将子问题的答案保存，以便于在后续问题需要时直接获得答案，这样就能避免大量的重复计算。

       所以说，动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其他的算法。

      一个问题如果可以使用动态规划解决的话，那这个问题具有两个基本要素：最优子结构性质、无后效性和重叠子问题性质。

       最优化原理：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

       无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

       重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

     

      下面我们通过一个例题来感受一下动态规划思想。
 

1.矩阵连乘问题

【问题描述】

      给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

输入数据：第一行为测试数据的组数m；以后每组的第一行表示矩阵个数n，第二行包括n+1个正 整数，表示n个矩阵的行列值。

输出：最少次数及连乘的计算次序。

样例输入：

1

5

5  10  4  6  10  2

样例输出：

348

(A1(A2(A3(A4A5))))

【问题分析】

          首先，我们要留意的是，因为矩阵的乘法满足结合律，所以计算次序可能多种多样。例如，给定三个连乘矩阵{A1，A2，A3}的行列值为10，100，5，50，如果计算次序是（A1A2）A3，那么数乘次数为10*100*5+10*5*50=7500，而如果计算次序是A1（A2A3），乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000，显然，计算次序不同会导致乘法次数的不同。

【算法分析】

       最容易想到的，那肯定是穷举法啦，简单粗暴而且保护脑细胞。仔细分析一下，穷举出所有的计算次序，还要计算需要的数乘次数，从而找出数乘次数最少的方法，这样做的话复杂度是多少呢？不好意思，计算次序呈指数级增长。为了关爱一下自己的计算机，我们还是清楚本场主角动态规划算法吧。

      我们设矩阵连乘积AiAi+1…Aj为A[i:j]。那我们的目标就变成了找出A[1:n]的最优计算次序。假设A[i:j]的最优计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，那么相应的加括号次序就是：(Ai..... Ak) (Ak+1 …...Aj)。对应的计算量就是，A[i:k]的计算量+A[k+1:j]的计算量+A[i:k]和A[k+1:j]相乘所需的计算量。

      经过上述分析，我们如果设计算A[i:j]所需的最少数乘次数为m[i][j]，原问题对应解就是m[1][n]。

      当i=j时，A[i:j]是单一的矩阵，m[i][j]=0。

      当i<j时，根据上述分析，m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj，所以m[i][j]可以递归定义成

  

 代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100;
int a[N];//矩阵规模
int c[N][N];//最优解
int s[N][N];
void solution(int n)
{
	int r,i,j,k;
	for (i=0;i<=n;i++)//初始化对角线
	c[i][i]=0;
	for(r=2;r<=n;r++)//r个矩阵连乘
	{
		for(i=1;i<=n-r+1;i++)//r个矩阵的r-1个空隙中依次测试最优点
		{
			j=i+r-1;
			c[i][j]=c[i][i]+c[i+1][j]+a[i-1]*a[i]*a[j];
			s[i][j]=i;
			for(k=i+1;k<j;k++)//变换分隔位置，逐一测试
			{
				int t=c[i][k]+c[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j];
				if(t<c[i][j])//如果变换后的位置更优，则替换原来的分隔方法。
				{
					c[i][j]=t;
					s[i][j]=k;
				}
			}
		}
	}
}
void print(int i, int j)
{
	if(i==j)
	{
		cout<<"A"<<i;
		return;
	}
	cout<<"(";
	print(i,s[i][j]);
	print(s[i][j]+1,j);//递归1到s[1][j]
	cout<<")";
}
int main()
{
	int m;
	cin>>m;
	while(m!=0)
	{
		int n;
		cin>>n;
		for(int i=0;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
		solution(n);
		cout<<c[1][n]<<endl;
		print(1,n);
		cout<<endl;
		m--;
	}
    return 0;
}

       总结下来，我们要运用动态规划算法时，可以参考以下几个步骤：

（1）分析最优解的性质，并刻画其结构特征。

（2）递归的定义最优解。

（3）以自底向上或自顶向下的记忆化方式（备忘录法）计算出最优值

（4）根据计算最优值时得到的信息，构造问题的最优解