【C++】动态规划_c++动态规划

参考博客：动态规划详解

1. 什么是动态规划

动态规划（英语：Dynamic programming，简称 DP），是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

1.1 重叠子问题与最优子结构

1.1.1 重叠子问题

重叠子问题是指在问题的求解过程中，存在多次使用相同的子问题的情况，即在求解问题的不同阶段，需要求解的子问题可能是相同的。重叠子问题是动态规划算法设计的基础之一，利用子问题的重叠性可以减少重复计算，提高算法效率。

1.1.2 最优子结构

最优子结构是指问题的最优解可以通过子问题的最优解来构造得到。也就是说，问题的最优解包含子问题的最优解。通俗地说，就是大问题的最优解可以由小问题的最优解推出。这是动态规划的关键性质之一。

1.1.3 举例

举个例子，假设有一个包含n个元素的序列，需要找出其中的最长递增子序列（LIS，Longest Increasing Subsequence）。这个问题就具有最优子结构性质。如果一个序列的LIS已知，那么如果在其末尾添加一个元素，就有两种情况：

1. 如果该元素大于当前LIS的末尾元素，那么新序列的LIS为当前LIS加上这个元素，长度为原序列的LIS长度加1；
2. 如果该元素小于等于当前LIS的末尾元素，那么当前LIS不会受到影响，新序列的LIS仍然是原序列的LIS。

因此，该问题的最优解可以通过已知的子问题的最优解构造得到。

1.2 动态规划的核心思想

动态规划最核心的思想，就在于拆分子问题，记住过往，减少重复计算。

我们来看下，网上比较流行的一个例子：

A ： "1+1+1+1+1+1+1+1 =？"
A ： "上面等式的值是多少"
B ： 计算 "8"
A : 在上面等式的左边写上 "1+" 呢？
A : "此时等式的值为多少"
B : 很快得出答案 "9"
A : "你怎么这么快就知道答案了"
A : "只要在8的基础上加1就行了"
A : "所以你不用重新计算，因为你记住了第一个等式的值为8!动态规划算法也可以说是 '记住求过的解来节省时间'"
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1.3 从青蛙跳台阶进入动态规划

leetcode原题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 10 级的台阶总共有多少种跳法

1.3.1 解题思路

基本思想：动态规划从较小问题的解，由交叠性质，逐步决策出较大问题的解，它是从f(1)往f(10）方向，往上推求解，所以称为自底向上的解法。

什么意思，我们从第一个台阶往上推，假设跳到第n级台阶的跳数我们定义为f(n):

1. 当只有1级台阶时，只有一种跳法，即f（1）= 1；
2. 当只有2级台阶时，有两种跳法。第一种是直接跳两级。第二种是先跳一级，然后再跳一级。即f(2) = 2;
3. 当有3级台阶时，也有两种跳法。第一种是从第1级台阶直接跳两级。第二种是从第2级台阶跳一级。即f(3) = f(1) + f(2);
4. 要想跳到第4级台阶，要么是先跳到第3级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第2级，然后一次迈2级台阶上去。即f(4) = f(2) + f(3);

此时，我门就能得到公式：

f(1) = 1;
f(2) = 2;
f(3) = f(1) + f(2);
f(4) = f(2) + f(3);
…
f(10) = f(8) + f(9);
即f(n) = f(n - 2) + f(n - 1)。

此时我们来看看动态规划的典型特征在此题中的展现：

1. 最优子结构：f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构。
2. 重叠子问题：比如f(10)= f(9)+f(8),f(9) = f(8) + f(7) ,f(8)就是重叠子问题。
3. 状态转移方程：f(n)= f(n-1)+f(n-2)就称为状态转移方程。
4. 边界：f(1) = 1, f(2) = 2 就是边界。

1.3.2 代码

代码思路如图：

代码实现：

class Solution {
   
public:
    int numWays(int n) {
   
        int dp[101] = {
   0};
        int mod = 1000000007;

        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 
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