《机器学习》周志华-决策树算法总结_周志华机器学习决策树基本算法解读

决策树

1.什么是决策树
决策树(decision tree) 是一类常见的机器学习方法，亦称“判定树”。顾名思义，决策树是基于树结构来进行决策的，这恰是人类在面临决策问题时一种很自然的处理机制。
例如，挑西瓜的决策过程如下图所示：

中间结点是决策过程，叶结点是决策结果。根结点包含样本全集。
决策树学习基本算法（是一个递归算法）为：

2.划分选择
一般而言，随着划分过程不断进行，我们希望决策树的分支结点所包含的样本尽可能属于同一类别，即结点的"纯度" (purity)越来越高.
2.1信息熵
“信息熵” (information entropy)是度量样本集合纯度最常用的一种指标。
假设样本集合为D，则D的信息熵定义为：

其中样本集合D中第k类样本所占的比例为Pk (k = 1,2,. . . ,|y|)。
Ent(D) 的值越小，则 D 的纯度越高。
假定离散属性a有V个可能的取值，计算信息增益为：

一般而言，信息增益越大，则意味着使周属性α来进行划分所获得的"纯度提升"越大。著名的 ID3 决策树学习算法 [Quinlan， 1986] 就是以信息增益为准则来选择划分属性。
西瓜数据集：

第一步：计算样本集合D（根结点）的信息熵：

第二步：计算分支结点的信息熵：

第三步：计算属性“色泽”的信息增益为：

第四步：计算其他属性的信息增益：

属性"纹理"的信息增益最大，于是它被选为划分属性，得到基于“纹理”属性对根结点划分：

第五步：对每个分支做进一步划分，基于 D1 计算出各属性的信息增益:

类似的，对每个分支结点进行上述操作，最终得到的决策树如下图所示：

2.2增益率
信息增益的缺陷：偏好分支多的属性。
著名的C4.5决策树算法不直接使用信息增益，而是使用"增益率" (gain ratio) 来选择最优划分属性.
增益率的定义为：

称为属性a的“固有值”。属性a的可能取值数目越多（分支越多），则IV（a）的值通常越大。
增益率对分支少的属性有偏好。
因此C4.5使用了一个启发式：先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从 中选择增益率最高的。
2.3基尼指数
CART 决策树 [Breiman et al., 1984] 使用"基尼指数" (Gini index)来选择划分属性。
基尼值：

Gini(D) 反映了从数据集 D 中随机抽取两个样本，其类别标记 不一致的概率。
Gini(D) 越小，则数据集 D 的纯度越高。
属性a的基尼指数定义为：

3.剪枝处理
剪枝(pruning)是决策树学习算法对付"过拟合"的主要手段。
决策树剪枝的基本策略：预剪枝和后剪枝。
西瓜数据集，采用留出法划分出训练集和验证集：
西瓜集划分出的训练集（双线上部）与验证集（双线下部）

3.1预剪枝
预剪枝是指在决策树生成过程中，对每个结点在划 分前先进行估计，若当前结点的划分不能带来决策树泛化性能提升，则停止划分并将当前结点标记为叶结点。

预剪枝决策树：

优点：不仅降低了过拟合的风险，还显著减少了决策树的训练时间开销和测试时间开销。
缺点：贪心策略可能会忽略一些后续提升性能的分支，给预剪枝决策树带来了欠拟合的风险。

3.2后剪枝
后剪枝则是先从训练集生成一棵完整的决策树， 然后自底向上地对非叶结点进行考察，若将该结点对应的子树替换为叶结点能带来决策树泛化性能提升，则将该子树替换为叶结点。

一般情形下，后剪枝决策树的欠拟合风险很小，泛化性能往往优于预剪枝决策树。
其训练时间开销比未剪枝决策树 和预剪枝决策树都要大得多。
4.连续与缺失值
4.1连续值处理
对连续属性进行处理最简单的策略：二分法（C4.5采用的机制）
假定a在D上有n个不同的值，可考察n-1个划分点集合：

按最优二分点进行划分：

西瓜数据集：

各属性信息增益：

基于信息增益生成决策树：

若当前结点划分属性为连续属性，该属性还可作为其后代结点的划分属性。
4.2缺失值处理
缺失属性值的训练样例：

(1) 如何在属性值缺失的情况 F进行划分属性选择?

将信息增益式进行推广为：

其中，

(2) 给定划分属性，若样本在该属性上的值缺失，如何对样本进行划分？

C4.5 算法使用了上述解决方案。
以属性“色泽”为例， 的信息熵为

计算不同分支的样本子集信息熵：


计算有缺失值的属性“色泽”的信息增益为：

计算在样本集D上属性"色泽"的信息增益为：

计算出所有属性在 D 上的信息增益:

最终决策树：

5.多变量决策树
决策树特点：轴平行(axis-parallel)，即它的分类边界由若干个与坐标轴平行的分段组成。
西瓜数据3.0：

生成的决策树：

决策树对应的分类边界：

斜决策树
使用多变量，实现复杂划分的决策边界。

非叶结点不再是仅对某个属性，而是对属性的线性组合进行测试，每个非叶结点是一个形如 的线性分类器。

分类边界：