数据结构——最短路径问题之Dijkstra和Floyd_dijkstra最短路径经典例题及答案

Dijkstra算法

适用于计算一个顶点到其他所有

直接结合题目分析
【例】

分析上图从源点a到其它各顶点的最短路径：
第一趟：从源点a出发，到b，代价是2；a到c代价是5，取小者，加入集合S={a,b}
第二趟：从b出发，可以到c和d，a->b->c代价是3（比a直接到c的代价5要小，保留），a->b->d代价是5，取小者加入集合S={a,b,c}
第三趟：从c出发，可以到d，e，f；a->b->c->d代价是6（比a->b->d代价5要大，需要更新）更新为a->b->d代价5；a->b->c->e代价是7；a->b->c->f代价是4；取小者4加入集合S={a,b,c,f}
第四趟：从f出发，还剩下顶点d和e，即就是a->b->c->f->d代价是∞（比a->b->d代价5要大，需要更新）更新为a->b->d代价5；a->b->c->f->e代价是∞（比a->b->c->e代价7要大，需要更新）更新为a->b->c->e代价7；取小者5加入集合S={a,b,c,f,d}
第五趟：只剩下e，直接加入集合S={a,b,c,f,d,e}

【例2】


分析上图从顶点1到其它各顶点的最短路径：
第一趟：从顶点1出发到2，代价是5；1到5代价是4，取小者，加入集合S={1,5}
第二趟：从5出发，可以到2,4,6，1->5->2代价是10（比1直接到2的代价5要大，舍弃）取1到2代价5；1->5->4代价是11；1->5->6代价是9；取小者加入集合S={1,5,2}
第三趟：从2出发，可以到3,4，1->2->3代价是7；1->2->4代价是14（比1->5->4代价是11要大，舍弃）取1->5->4代价11；取小者加入集合S={1,5,2,3}
第四趟：同理，取小者加入集合S={1,5,2,3,6}
第五趟：只剩下4，直接加入集合S={1,5,2,3,6,4}

【例】（2022年8题）如下图，从顶点1到2,3,4,5的最短路径保存在dist中，求出第二条最短路径后，dist中的内容更新为____.(选C)
A. 26,3,14,6
B. 25,3,14,6
C.21,3,14,6
D.15,3,14,6

首先初始化三个数组信息：
1.标记各顶点是否已找到最短路径：final[]
2.最短路径长度：dist[]
3.每一个顶点在最短路径上的直接前驱：path[]

寻找第一条最短路径：循环遍历所有顶点，找到还没确定最短路径（即final值为false），且dist最小的顶点v3，令其final值为true。并且检查所有邻接自v3的顶点，若其final值为false，并且走v3路径代价更小的话，则更新dist和path信息。（这里更新了v2的dist和path信息，因为从v1->v3->v2的代价25比v1->v2代价26要小）

寻找第二条最短路径：同上（这里进一步更新了v2的dist和path信息，因为从v1->v5->v2的代价21要更小些；更新了v4，从v1->v5->v4有了路径，代价为14）

Floyd

适用于一对一顶点，求每对顶点之间的最短路径
使用动态规划思想，将问题的求解分为多个阶段
【例】

初始：不允许经过其它顶点中转的最短路径
各顶点之间的最短路径A(-1):

两个顶点之间的中转点path(-1):（初始时都没有中转点）

下一步，若允许在V0中转的最短路径：
A(0)：
path(0):

下一步，若允许在V0，V1中转的最短路径：
A(1):

path(1):

下一步，若允许在V0，V1，V2中转的最短路径：
A(2):

path(2):

根据A(2)可知，V1到V2的最短路径长度为4，V0到V2的最短路径长度为10，同时结合path(2)可知，V1到V2的完整路径信息为V1->V2；V0到V2的完整路径信息为V0->V1->V2

【例】
初始：不允许经过其它顶点中转的最短路径
各顶点之间的最短路径A(-1):
两个顶点之间的中转点path(-1):（初始时都没有中转点）
#1：若允许在V0,V1中转的最短路径

原本V2没有直接到V3的路径，经过V1中转，V2->V1->V3代价为2；同样V2->V1->V4代价更新为6；对应的path更新为1，代表从V1结点进行了中转；

#2：若允许在V0,V1,V2中转的最短路径

同理，原本V0没有直接到V1的路径，经过V2中转，V0->V2->V1代价为2；这里需要说明的是，从V0到V3，可以经过了V2中转，由于从上一步已经得出了从V0到V2经过了V1中转，于是从V0到V3的完整路径其实是V0>V2->V1>V3，代价是3；从V0到V4原本代价是10，经过V2中转，V0>V2->V1>V4，代价更新为7；

#3：若允许在V0,V1,V2,V3中转的最短路径

#4：若允许在V0,V1,V2,V3,V4中转的最短路径

经过这一步，发现任何地方都不需要修改