无监督学习算法概览：聚类、降维、异常检测等_聚类算法剔除异常原理

无监督学习是机器学习的一个分支，它的目的是对数据集进行自动分析，以发现其中的模式和结构，而无需事先对数据集进行标记。聚类、降维、异常检测是无监督学习的三个主要应用。本文将从原理和实例两个方面对这三个应用进行详细介绍，并提供代码示例帮助读者理解。

1. 聚类算法

聚类算法是将数据集中的对象分为多个类别的过程，每个类别内的对象具有相似的属性。聚类算法有多种实现方式，其中K-Means算法是最常用的一种。

1.1 K-Means算法原理

K-Means算法是一种简单而有效的聚类算法。该算法通过将样本数据分配到预定义数量的簇中，使得簇内的样本相似度较高，而簇间的相似度较低。其基本思想是随机选择k个初始中心点，然后将每个数据点分配到与其距离最近的中心点所在的簇中，接着根据簇内的数据点重新计算中心点的位置，迭代该过程直到满足停止条件。

K-Means算法的目标是将数据集中的n个对象分为k个类别，使得每个类别内的对象之间的差异最小。算法的流程如下：

1. 从数据集中随机选取k个对象作为初始的聚类中心；
2. 对于数据集中的每个对象，计算它与k个聚类中心的距离，并将它分配到距离最近的聚类中心所在的类别中；
3. 对于每个类别，计算其中所有对象的平均值，并将该平均值作为该类别的新聚类中心；
4. 重复步骤2和步骤3，直到聚类中心的位置不再发生变化。

1.2 K-Means算法代码实例

以下是一个K-Means算法的Python代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

class KMeans:
    def __init__(self, n_clusters=3, max_iter=100):
        self.n_clusters = n_clusters # 簇的数量
        self.max_iter = max_iter # 最大迭代次数
    
    def fit(self, X):
        # 随机初始化簇的中心点
        self.centers = X[np.random.choice(X.shape[0], self.n_clusters, replace=False), :]
        
        for i in range(self.max_iter):
            # 分配数据点到最近的中心点
            labels = np.argmin(np.linalg.norm(X[:, np.newaxis, :] - self.centers, axis=2), axis=1)
            
            # 重新计算中心点的位置
            new_centers = np.array([X[labels == j].mean(axis=0) for j in range(self.n_clusters)])
            
            # 判断是否满足停止条件
            if np.allclose(new_centers, self.centers):
                break
            
            self.centers = new_centers
        
        # 将数据点分配到最终的簇中
        self.labels_ = np.argmin(np.linalg.norm(X[:, np.newaxis, :] - self.centers, axis=2), axis=1)
    
    def predict(self, X):
        # 将数据点分配到最终的簇中
        return np.argmin(np.linalg.norm(X[:, np.newaxis, :] - self.centers, axis=2), axis=1)

# 测试代码
np.random.seed(0)
X = np.random.randn(100, 2)
kmeans = KMeans(n_clusters=3)
kmeans.fit(X)
labels = kmeans.predict(X)

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels)
plt.scatter(kmeans.centers[:, 0], kmeans.centers[:, 1], marker='x', s=200, linewidths=3, color='r')
plt.show()
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'
运行
运行

运行结果如下图所示：

在上述代码中，我们首先定义了一个KMeans类，其中包含了初始化方法、fit方法和predict方法。fit方法是算法的核心，它使用迭代的方式不断地计算簇的中心点，并将数据点分配到最近的中心点所在的簇中。predict方法则将给定的数据点分配到最终的簇中。在测试代码中，我们使用Numpy生成了一组随机数据，并使用KMeans算法将其分为3个簇，并将结果可视化显示。

2. 降维算法

2.1 主成分分析原理

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常见的线性降维方法，它通过线性变换将高维数据映射到低维空间中。PCA的目标是找到一个新的坐标系，使得映射后数据的方差最大化。具体地，设 $X$ 是一个 $n\times p$ 的数据矩阵，其中每行表示一个样本，每列表示一个特征，假设 $X$ 的每个特征都已经标准化，即均值为0，方差为1。PCA 的步骤如下：

1. 计算样本的协方差矩阵 $C=\frac{1}{n}{X}^{T}X$；
2. 对协方差矩阵 $C$ 进行特征值分解，得到特征值和特征向量；
3. 将特征向量按照特征值大小降序排列，选择前 $k$ 个特征向量组成变换矩阵 $W$；
4. 将原始数据 $X$ 乘以变换矩阵 $W$，得到降维后的数据 $Y=XW$。

其中，变换矩阵 $W$ 是一个 $p\times k$ 的矩阵，它的列向量是前 $k$ 大的特征值对应的特征向量。

2.2 主成分分析代码实例

下面我们使用 Python 的 scikit-learn 库来演示 PCA 的应用，首先我们生成一个二维的高斯分布数据集，并可视化。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.decomposition import PCA

# 生成二维高斯分布数据
X, y = make_blobs(n_samples=200, centers=3, n_features=2, random_state=0)

# 可视化数据
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap='viridis')
plt.show()
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运行结果如下图所示：

接下来我们使用 PCA 将数据降到一维，并可视化。

# 使用PCA将数据降到一维
pca = PCA(n_components=1)
X_pca = pca.fit_transform(X)

# 可视化降维后的数据
plt.scatter(X_pca[:, 0], np.zeros(X_pca.shape[0]), c=y, cmap='viridis')
plt.show()
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运行结果如下图所示：

可以看到，PCA 将原始的二维数据压缩到了一维，并且保留了数据的聚类结构。

3. 异常检测算法

异常检测（Anomaly detection）是一种无监督学习算法，其目的是在不知道正常值的情况下，识别出与其他值不同的异常值。这个问题在很多领域都有应用，比如欺诈检测、机器设备的故障检测等等。

3.1 基于高斯分布的异常检测原理

基于高斯分布的异常检测是一种常见的异常检测算法，也被称为正态分布异常检测。该算法的基本思想是假设正常数据集是由高斯分布生成的，而异常点则偏离了高斯分布的中心，因此可以通过计算数据点与高斯分布中心之间的距离来确定异常点。具体地，算法包括以下步骤：

1. 对于数据集 $X$，先求出每个特征的均值和标准差，得到一个 $n$ 维高斯分布的概率密度函数。

2. 对于一个新的数据点 $x$，计算其在各个特征上的概率密度值，即：

$$p(x)=\prod _{j=1}^{n}p(x_j;{\mu }_j,{\sigma }_j^2)=\prod _{j=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_j}\exp (-\frac{(x_j-{\mu }_j{)}^2}{2{\sigma }_j^2})$$

其中 $p(x_j;{\mu }_j,{\sigma }_j^2)$ 是 $x_j$ 在高斯分布中的概率密度值，${\mu }_j$ 和 ${\sigma }_j^2$ 分别是数据集 $X$ 在第 $j$ 个特征上的均值和方差。

3. 如果 $p(x)<ϵ$，则将 $x$ 视为异常点，其中 $ϵ$ 是阈值参数，通常由交叉验证等方法确定。

3.2 基于高斯分布的异常检测代码实例

下面给出一个基于高斯分布的异常检测的代码实例。假设有一个二维的数据集 $X$，我们希望找出其中的异常点。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成二维数据集
np.random.seed(42)
X = np.random.randn(100, 2)
X[:5] += np.array([5, 5])  # 添加一些异常点

# 计算均值和方差
mu = np.mean(X, axis=0)
sigma = np.std(X, axis=0)

# 计算概率密度函数
p = np.prod(1 / (np.sqrt(2 * np.pi) * sigma) * np.exp(- (X - mu) ** 2 / (2 * sigma ** 2)), axis=1)

# 设置阈值
epsilon = 1e-4

# 找出异常点
outliers = X[p < epsilon]

# 绘制数据集和异常点
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
plt.scatter(outliers[:, 0], outliers[:, 1], color='r', marker='x', s=100)
plt.show()
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运行
运行

运行以上代码可以得到以下输出结果：

4.总结

无监督学习是机器学习中重要的一部分，其目标是通过从数据中学习隐藏的模式和结构，为数据提供更深刻的洞察力。聚类、降维和异常检测是无监督学习中最常用的技术之一。

聚类是将数据点分组到不同的簇中的过程，从而找到数据中的相似性和差异性。K-Means是聚类算法中最常用的算法之一，它是一种迭代算法，可以将数据点分为预定的簇数，该算法通常用于挖掘大规模数据集的内在结构，例如在市场细分、图像分割和生物信息学中。

降维是减少数据维度的过程，同时保留数据的最大信息。主成分分析是降维中最常用的技术之一，它通过线性变换将原始数据映射到一个较小的维度空间，从而捕捉数据的主要变化模式，简化数据分析的复杂性。主成分分析通常用于减少数据的噪音和冗余信息，同时保留数据的主要特征。

异常检测是识别和诊断不正常的数据点的过程，通常用于发现意外的数据集合，如检测欺诈行为和网络入侵等。基于高斯分布的异常检测是最常用的技术之一，它通过估计数据的概率分布，计算每个数据点相对于该分布的异常程度，并将异常点识别为概率低的数据点。此外，异常检测还可以使用聚类算法和密度估计方法。

无监督学习是一个广泛的领域，包含许多技术和算法，它们的应用涵盖许多领域，如金融、医学、社交网络和工业生产。无监督学习的主要优点是无需标签或先验知识，它可以自动地从数据中挖掘模式，探索数据的内在结构，并为其他任务提供有价值的信息。