背包问题（01背包、完全背包、多重背包、混合背包、分组背包）_小明的背包编程题

这里一共有五种背包类型， （01背包、完全背包、多重背包、混合背包、分组背包），掌握了其中的基本解法，背包就不会再是让你头疼的事啦！

加油鸭！今天也要努力哟！！！

目录

 1.小明的背包1 （01背包）

 2.小明的背包2(完全背包）

 3.小明的背包3（多重背包）

 4.小明的背包4（混合背包）

 5.小明的背包5

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1.小明的背包1 （01背包）

题目描述

小明有一个容量为 V 的背包。

这天他去商场购物，商场一共有 N件物品，第 i件物品的体积为 wi​，价值为 vi​。

小明想知道在购买的物品总体积不超过 V 的情况下所能获得的最大价值为多少，请你帮他算算。

输入描述

输入第 1 行包含两个正整数 N,V表示商场物品的数量和小明的背包容量。

第 2∼N+1 行包含 2个正整数 w,v表示物品的体积和价值。

1≤N≤10^2， 1≤V≤10^3，1≤wi​,vi​≤10^3。

输出描述

输出一行整数表示小明所能获得的最大价值。

输入输出样例

示例 1

输入

5 20
1 6
2 5
3 8
5 15
3 3 

输出

37

 二维

定义：dp[i][j]: 前 i个物品，背包容量 j下的最优解

状态转移方程：

• 当前背包容量不够 j < v[i]，所以没法选第 i个物品，答案只能从前 i-1个物品最优解转移而来：dp[i][j] = dp[i-1][j]；

• 当前背包容量够，就要决策选与不选第 i个物品 ：

  选：dp[i][j] = dp[i-1][j-v[i]] + w[i]

  不选：dp[i][j] = dp[i-1][j]

  所以答案从这俩个选择中取最大值也就是 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i])

maxn=1005
w=[0 for i in range(maxn)]
v=[0 for i in range(maxn)]
dp=[[0 for i in range(maxn)]for j in range(maxn)]
n,m=map(int,input().split())
for i in range(1,n+1):
     a,b=map(int,input().split())
     w[i]=a
     v[i]=b
for i in range(1,n+1):
     for j in range(m+1):
          if j<v[i]:
               dp[i][j]=dp[i-1][j]
          else:
               dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])
print(dp[n][m])

一维

将状态 dp[i][j] 优化到一维 dp[j]，为什么可以这样变形呢？

我们发现转移方程式完全和 i变量没有关系嘛，那是不是意味着可以把它优化掉呢。

定义：dp[j] 为 n件物品，背包容量 j下的最优解。

状态转移方程： dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i])

在二维情况下，状态 dp[