相似、合同、等价_合同,相似等价

一、相似矩阵

1. 特征值与特征向量

（1）定义

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A\alpha =\lambda \alpha (\lambda \ne 0)$，则 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\alpha$ 是 $A$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量，$|\lambda E-A|=0$ 为 $A$ 的特征多项式。

【注】特征向量不能是零向量！

（2）特征值的性质

（2.1）设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$，则：

• ${\lambda }_1+{\lambda }_2+...+{\lambda }_n=tr(A)=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$
• ${\lambda }_1{\lambda }_2\cdot \cdot \cdot {\lambda }_n=|A|$
• 设 $A$ 有特征值 $\lambda$，则 $\lambda$ 的重数 $k\ge n-r(\lambda E-A)$
• 若 $r(A)\le 1$，则 $A$ 的特征值为 $0,0,...,0,tr(A)$（有 $n-1$ 个 $0$）
• 若 $A$ 为三角矩阵或对角矩阵，则 $A$ 的特征值为主对角线上的元素
• 若 $\alpha \ne 0$，则矩阵 $\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}$ 的特征值为 $0,0,...,0,{\beta }^{\mathrm{T}}\alpha$，其中特征值 ${\beta }^{\mathrm{T}}\alpha$ 对应的特征向量为 $\alpha$

（2.2）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则：

• $A$ 的元素均为实数，且 $A^{\mathrm{T}}=A$
• $A$ 的特征值必为实数
• $A=\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}+\beta {\alpha }^{\mathrm{T}}$ 为实对称矩阵

（3）特征向量的性质

（3.1）设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则：

• $A$ 的不同特征值对应的特征向量线性无关
• $A$ 的不同特征值对应的特征向量之线性组合不是 $A$ 的特征向量
• 设 $A$ 有 $k$ 重特征值 $\lambda$，则属于 $\lambda$ 的线性无关的特征向量个数 $s=n-r(\lambda E-A)\le k$
• 设 $A$ 有 $k$ 重特征值 $\lambda$，则属于 $\lambda$ 的线性无关的特征向量之线性组合仍为 $A$ 的特征向量

（3.2）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则：

• $A$ 的不同特征值的特征向量相互正交
• 设 $A$ 有 $k$ 重特征值 $\lambda$，则属于 $\lambda$ 的线性无关的特征向量个数 $s=n-r(\lambda E-A)=k$

（4）常用结论

【注 1】关于 $A$ 和 $f(A)$ 的几个要点：

• 若 $f(A)=0$，则 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ 都满足 $f(\lambda )=0$
• 若 $f(\lambda )=0$ 求得解 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_t$，则 $A$ 的特征值可能有 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_t$ 的其中几个（或一个都没有！），但不能确定 $A$ 的特征值一定都有 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_t$

【注 2】一个可以快速计算矩阵 $A$ 的特征值的技巧：将 $A$ 拆分成数量矩阵 $kE$ 加一个秩为 $1$ 的矩阵 $B$，于是 $A=B+kE$，矩阵 $B$ 的特征值容易写出，自然也就得到矩阵 $A$ 的特征值了。

2. 相似关系

（1）相似的定义

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$（即 $AP=PB$），则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\backsim B$。

（2）相似的性质

（2.1）对称性和传递性：

• 对称性：$A\backsim B\iff B\backsim A$
• 传递性：$A\backsim B,B\backsim C\Rightarrow A\backsim C$

（2.2）若 $A\backsim B$ 且 $P^{-1}AP=B$ 时，有：

• $A\backsim B\Rightarrow A^{\mathrm{T}}\backsim B^{\mathrm{T}}$
• $A\backsim B\Rightarrow A^n\backsim B^n$
• $A\backsim B\Rightarrow A^{-1}\backsim B^{-1}$，并且 $P^{-1}{A}^{-1}P=B^{-1}$（当 $A$ 可逆时）
• $A\backsim B\Rightarrow A^{\ast }\backsim B^{\ast }$，并且 $P^{-1}{A}^{\ast }P=B^{\ast }$（当 $A$ 可逆时）
• $A\backsim B\Rightarrow f(A)\backsim f(B)$，并且 $P^{-1}f(A)P=f(B)$
• $\eta$ 是 $A$ 的特征向量 $\iff P^{-1}\eta$ 是 $B$ 的特征向量
• $A\backsim B\Rightarrow |A|=|B|$
• $A\backsim B\Rightarrow |\lambda E-A|=|\lambda E-B|$
• $A\backsim B\Rightarrow r(A)=r(B)$
• $A\backsim B\Rightarrow tr(A)=tr(B)$
• $A\backsim B\Rightarrow A$ 和 $B$ 有相同的特征值

【注 1】由 $A\backsim B$ 可得出以上结论，但反过来，这些条件却并不能得到 $A\backsim B$。
【注 2】以上条件只要有一个不满足，即可判断 $A$ 不相似于 $B$。
【注 3】若要判断 $A\backsim B$，则可尝试求出 $A$ 和 $B$ 的对角矩阵，若它们都相似于同一个对角矩阵（即 $A\backsim \Lambda ,B\backsim \Lambda$），则根据相似的传递性，可得 $A\backsim B$。

（2.3）设 $A,B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，则：

• $A$ 必相似于实对角矩阵，即 $A\backsim \Lambda$
• $A\backsim B\iff A$ 和 $B$ 有相同的特征值及重数 $\iff |\lambda E-A|=|\lambda E-B|$

【注】$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|\iff$ $A$ 和 $B$ 有相同的特征值及重数$\iff A\backsim \Lambda ,B\backsim \Lambda \iff A\backsim B$

• 存在正交矩阵 $Q$，使得 $Q^{\mathrm{T}}AQ=Q^{-1}AQ=\Lambda$

3. 相似对角化

（1）相似对角化的定义

设 $n$ 阶对角矩阵 $\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n)$，其中 ${\lambda }_i$ 为 $A$ 的特征值， 若存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$（即 $AP=P\Lambda$），则称 $A$ 可相似对角化，简称为可对角化，记作 $A\backsim \Lambda$。

（2）可对角化的判别

（设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵）

• $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\Rightarrow A\backsim \Lambda$
• $A\backsim \Lambda \iff A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
• $A\backsim \Lambda \iff A$ 的 $k$ 重特征值 $\lambda$ 有 $k$ 个线性无关的特征向量 $\iff k=n-r(\lambda E-A)$

【注】当 $k=1$ 时，$k=n-r(\lambda E-A)$ 一定成立，因此只需对 $k\ge 2$ 的特征值进行判断。

• $A$ 满足 $(A-aE)(A-bE)=0(a\ne b)\iff A\backsim \Lambda$，且特征值满足 $(\lambda -a)(\lambda -b)=0$
• 实对称矩阵必可相似对角化，且正交于对角矩阵

（3）相似对角化的步骤

（3.1）一般矩阵 $A$ 的相似对角化的步骤：

• 由 $|\lambda E-A|=0$ 求出 $A$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$
• 对每个 ${\lambda }_i$，由 $({\lambda }_{i}E-A)x=0$ 求出 $A$ 的一组特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$
• 令 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n)$，当 $P$ 可逆时，有 $P^{-1}AP=\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n)$

【注】有些题目没有给出具体的矩阵 $A$，只给定一些已知的特征值和特征向量，要求反求出矩阵 $A$。有两种解法：

• 传统的解法：求出对角矩阵 $\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$ 和可逆矩阵 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，然后由 $P^{-1}AP=\Lambda$ 得到 $A=P\Lambda P^{-1}$。这种解法需要对 $P$ 求逆（需使用初等行变换求出），然后进行两次矩阵乘法。
• 较快的解法：求解矩阵 $A$ 的过程实际上是在求解一个矩阵方程。因为 $P^{-1}AP=\Lambda \iff AP=P\Lambda \iff A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=({\lambda }_1{\alpha }_1,{\lambda }_2{\alpha }_2,{\lambda }_3{\alpha }_3)$，取转置即得矩阵方程 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3{)}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}=({\lambda }_1{\alpha }_1,{\lambda }_2{\alpha }_2,{\lambda }_3{\alpha }_3{)}^{\mathrm{T}}$，于是求解 $A^{\mathrm{T}}$ 只需进行初等行变换：$({\alpha }_1^{\mathrm{T}},{\alpha }_2^{\mathrm{T}},{\alpha }_3^{\mathrm{T}}|{\lambda }_1{\alpha }_1^{\mathrm{T}},{\lambda }_2{\alpha }_2^{\mathrm{T}},{\lambda }_3{\alpha }_3^{\mathrm{T}})\to (E|A^{\mathrm{T}})$。显然该法比传统解法要更快！

（3.2）实对称矩阵 $A$ 的相似对角化的步骤：

• 由 $|\lambda E-A|=0$ 求出 $A$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$
• 对每个 ${\lambda }_i$，由 $({\lambda }_{i}E-A)x=0$ 求出 $A$ 的一组特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$
• 对单重特征值的特征向量进行单位化；对多重特征值对应的特征向量进行施密特正交化和单位化
• 令正交矩阵 $Q=({\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n)$，有 $Q^{\mathrm{T}}AQ=Q^{-1}AQ=\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n)$

【注 1】有些题目没有给出具体的实对称矩阵 $A$，只给出其中一个或两个特征向量 $\alpha$，若需要算出其他的特征向量，应使用“实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交”这一性质来求解。

【注 2】有些题目没有给出具体的实对称矩阵 $A$，只给定一些已知的特征值和特征向量，要求反求出实对称矩阵 $A$，一种比较快的解法是使用谱分解定理，在本人专栏有涉及。

（3.3）施密特正交化

{ β 1 = α 1 β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β 3 = α 3 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 \left\{

$$\begin{aligned} &\beta_1 = \alpha_1 \\ &\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1 \\ &\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)} \beta_2 \\ \end{aligned}$$ \right. ⎩ ⎨ ⎧​​β1​=α1​β2​=α2​−(β1​,β1​)(α2​,β1​)​β1​β3​=α3​−(β1​,β1​)(α3​,β1​)​β1​−(β2​,β2​)(α3​,β2​)​β2​​

【注】施密特正交化的推导过程以及其延伸出的一些解题思路，可见本人专栏的另一篇文章。

（3.4）单位化

{ η 1 = β 1 / ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ η 2 = β 2 / ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ η 3 = β 3 / ∣ ∣ β 3 ∣ ∣ \left\{

$$\begin{aligned} &\eta_1 = \beta_1 / ||\beta_1|| \\ &\eta_2 = \beta_2 / ||\beta_2|| \\ &\eta_3 = \beta_3 / ||\beta_3|| \\ \end{aligned}$$ \right. ⎩ ⎨ ⎧​​η1​=β1​/∣∣β1​∣∣η2​=β2​/∣∣β2​∣∣η3​=β3​/∣∣β3​∣∣​

（$||{\beta }_i||$ 为向量的长度）

令正交矩阵 $Q=({\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3)$，有 $Q^{\mathrm{T}}AQ=Q^{-1}AQ=\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$

二、合同矩阵

1. 二次型

（1）二次型的定义

• 二次型：$f(x_1,x_2,...,x_n)=x^{\mathrm{T}}Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵。
• 标准二次型：若交叉项的系数为 $0$，则得到标准二次型，$A$ 是实对角矩阵。
• 规范二次型：若每一项去掉系数，只保留正负，则得到规范二次型，$A$ 是实规范对角矩阵，即 $\left[\begin{array}{ccc}{E}_p& & \\ & -E_q& \\ & & O\end{array}\right]$，其中 $p$ 为正惯性指数（正平方项个数），$q$ 为负惯性指数（负平方项个数）。

【注 1】标准二次型是不唯一的，规范二次型是唯一的。

【注 2】部分二次型所对应的矩阵不是实对称矩阵，则需要将其改成实对称矩阵：$B=\frac{1}{2}(A+A^{\mathrm{T}})$。相关例题：$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_2+3x_3)(x_1-2x_2+3x_3)$。

• 可逆线性变量替换：对二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)=x^{\mathrm{T}}Ax$ 引进新变量 $y_1,y_2,...,y_n$ 用来表示 $x_1,x_2,...,x_n$：

{ x 1 = c 11 y 1 + c 12 y 2 + . . . + c 1 n y n x 2 = c 21 y 1 + c 22 y 2 + . . . + c 2 n y n . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3 = c n 1 y 1 + c n 2 y 2 + . . . + c n n y n \left\{

$$\begin{aligned} x_1 = c_{11}y_1 + c_{12}y_2 + ...+ c_{1n}y_n \\ x_2 = c_{21}y_1 + c_{22}y_2 + ...+ c_{2n}y_n \\ ..................\\ x_3 = c_{n1}y_1 + c_{n2}y_2 + ...+ c_{nn}y_n \\ \end{aligned}$$ \right. ⎩ ⎨ ⎧​x1​=c11​y1​+c12​y2​+...+c1n​yn​x2​=c21​y1​+c22​y2​+...+c2n​yn​..................x3​=cn1​y1​+cn2​y2​+...+cnn​yn​​

将其中的系数矩阵记为 $C$，若 $C$ 为可逆矩阵，则称为可逆线性变量替换，上式又可写成：$x=Cy$，所以二次型可化为：$f(x_1,x_2,...,x_n)=y^{\mathrm{T}}{C}^{\mathrm{T}}ACy$，可逆线性变量替换后的二次型为 $g(y_1,y_2,...,y_n)=C^{\mathrm{T}}AC$。

【注】坐标变换必须可逆，若不可逆则变换后的结果不是二次型 $f$ 的标准型。相关例题：$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3+x_1{)}^2$。

（2）惯性定理

标准二次型 $f=x^{\mathrm{T}}Ax$ 中，$A$ 是实对称矩阵，$p$ 为正惯性指数（正平方项个数），$q$ 为负惯性指数（负平方项个数），则 $r(A)=p+q$。

【注】必须是在实对称矩阵的条件下！

【一类特殊的二次型】已知二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=(a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3{)}^2+(b_1{x}_1+b_2{x}_2+b_3{x}_3{)}^2+(c_1{x}_1+c_2{x}_2+c_3{x}_3{)}^2$$

记 $\alpha =(a_1,a_2,a_3{)}^{\mathrm{T}},\beta =(b_1,b_2,b_3{)}^{\mathrm{T}},\gamma =(c_1,c_2,c_3{)}^{\mathrm{T}}$，则二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 对应矩阵为 $A=(\alpha ,\beta ,\gamma )(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\mathrm{T}}$，正惯性指数 $p=r(\alpha ,\beta ,\gamma )$，负惯性指数 $q=0$。

（3）最大和最小值

设 $n$ 元二次型 $f=x^{\mathrm{T}}Ax$，其中实对称矩阵 $A$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$ 中最大值为 ${\lambda }_{max}$，最小值为 ${\lambda }_{min}$，且 $x^{\mathrm{T}}Ax=M>0$，则有：

$$M{\lambda }_{min}\le x^{\mathrm{T}}Ax\le M{\lambda }_{max}$$

（4）二次型的标准化（合同对角化）

（4.1）正交变换法

• 由 $|\lambda E-A|=0$ 求出二次型矩阵 $A$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$
• 对每个 ${\lambda }_i$，由 $({\lambda }_{i}E-A)x=0$ 求出 $A$ 的一组特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$
• 对单重特征值的特征向量进行单位化；对多重特征值对应的特征向量进行施密特正交化和单位化
• 令正交矩阵 $Q=({\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n)$，有可逆线性变量替换 $x=Qy$，把原二次型化为标准二次型，$A$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$ 对应标准二次型中每一项的系数

（4.2）拉格朗日配方法

• 若二次型中有平方项 $x_i^2$ 和交叉项 $x_i{x}_j$，则把含有 $x_i$ 的项集中起来进行配方
• 若二次型中仅有交叉项 $x_i{x}_j$，则进行以下换元，此时将产生出平方项，按第一种方法进行配方：

{ x i = y i + y j x j = y i − y j x k = y k ( k = 1 , 2 , . . . , n ) ( k ≠ i , j ) \left\{

$$\begin{aligned} & x_i = y_i + y_j \\ & x_j = y_i - y_j \\ & x_k = y_k (k=1,2,...,n)(k \neq i,j) \\ \end{aligned}$$ \right. ⎩ ⎨ ⎧​​xi​=yi​+yj​xj​=yi​−yj​xk​=yk​(k=1,2,...,n)(k=i,j)​

• 也可使用公式 $ab=\frac{(a+b{)}^2-(a-b{)}^2}{4}$ 产生出平方项

【例】用配方法将二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3$ 化为标准型。

【解】根据交叉项 $x_1{x}_2$ 可进行以下换元（当然也可以挑选其他交叉项进行换元）：

{ x 1 = y 1 + y 2 x 2 = y 1 − y 2 x 3 = y 3 \left\{

$$\begin{aligned} & x_1 = y_1 + y_2 \\ & x_2 = y_1 - y_2 \\ & x_3 = y_3 \\ \end{aligned}$$ \right. ⎩ ⎨ ⎧​​x1​=y1​+y2​x2​=y1​−y2​x3​=y3​​

所以 $f(x_1,x_2,x_3)=y_1^2+y_2^2+2y_1{y}_3$，配方得 $f(x_1,x_2,x_3)=(y_1+y_3{)}^2-y_2^2-y_3^2$。

2. 合同关系

（1）合同的定义

设 $n$ 阶矩阵 $A,B$，若存在可逆实矩阵 $C$，使得 $B=C^{\mathrm{T}}AC$，则称 $A$ 和 $B$ 合同，记为 $A\simeq B$。

【注】在矩阵合同的定义中，并没有要求合同的矩阵一定是实对称矩阵。

（2）合同的性质

（2.1）一般矩阵的性质（设 $A,B$ 为一般矩阵）：

• 两个二次型（分别对应实对称矩阵 $A,B$）可用可逆线性变量替换互相转化 $\iff A\simeq B$
• $A\simeq B\iff$ 正、负惯性指数相同，即 $p_A=p_B,q_A=q_B$
• $A\simeq B\iff$ 正、负特征值个数相同
• $A\simeq B\Rightarrow r(A)=r(B)$

【注】$A\simeq B\Rightarrow p_A=p_B,q_A=q_B\Rightarrow r(A)=r(B)$，但 $r(A)=r(B)\nRightarrow A\simeq B$，只能推出 $A$ 和 $B$ 等价（若 $A,B$ 同型）。

• $A\backsim B\nLeftrightarrow A\simeq B$

【注】这是在一般矩阵下的得出的结论：

• 合同不一定相似：很容易理解，合同只能推出矩阵 $A,B$ 所对应的对角矩阵元素的正负个数相等，但无法推出对角矩阵元素均相等。
• 相似不一定合同：由 $A\backsim B$ 可得 $P^{-1}AP=B$，但无法保证 $P^{-1}=P^{\mathrm{T}}$。

（2.2）实对称矩阵的性质（设 $A,B$ 为实对称矩阵）：

• 实对称矩阵必能合同对角化，即 $C^{\mathrm{T}}AC=\Lambda$
• 若 $A$ 为实对称矩阵，则：$A\simeq B\Rightarrow B$ 为实对称矩阵

【证明】$A\simeq B\Rightarrow C^{\mathrm{T}}AC=B\Rightarrow (C^{\mathrm{T}}AC{)}^{\mathrm{T}}=(B{)}^{\mathrm{T}}\Rightarrow C^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}C=B^{\mathrm{T}}=B$，说明 $B$ 也为实对称矩阵。

• $A\backsim B\Rightarrow A\simeq B$，但 $A\backsim B\nLeftarrow A\simeq B$

【注】这是在实对称矩阵下的得出的结论：

• 相似是合同的特例：实对称矩阵必与对角矩阵相似，可得 $A\backsim B\Rightarrow A\backsim B\backsim \Lambda$，所以 $A,B$ 有相同的特征值，即 $A,B$ 有相同的正、负惯性指数，由惯性定理知 $A\simeq B$。
• 合同不一定相似：很容易理解，合同只能推出矩阵 $A,B$ 所对应的对角矩阵元素的正负个数相等，但无法推出对角矩阵元素均相等。

3. 正定矩阵

（1）正定的定义

设二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)=x^{\mathrm{T}}Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵。若对任意 $x\ne 0$，都有 $f(x_1,x_2,...,x_n)=x^{\mathrm{T}}Ax>0$，则称二次型 $f$ 正定，称 $A$ 为正定矩阵。

【注 1】判定矩阵 $A$ 正定时，需要检验 $A$ 是否为实对称矩阵。
【注 2】若二次型 $f$ 正定，则仅当 $x=0$ 时，$f(x_1,x_2,...,x_n)=x^{\mathrm{T}}Ax=0$。

（2）正定的性质

• $A$ 正定 $\Rightarrow A$ 为实对称矩阵
• $A$ 正定 $\iff A$ 的特征值全部大于 $0$
• $A$ 正定 $\iff A$ 的顺序主子式全大于 $0$
• $A$ 正定 $\iff \exists 可逆P$，使得 $A=P^{\mathrm{T}}P\iff A\simeq E$
• $A$ 正定 $\Rightarrow a_{ii}>0$
• $A$ 正定 $\Rightarrow |A|>0$
• $A$ 正定 $\Rightarrow A^k,A^{-1},A^{\ast }$ 均正定
• $\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]$ 正定 $\iff A,B$ 均正定
• 对于实矩阵 $A^{\mathrm{T}}A$：
  • $A^{\mathrm{T}}A$ 的负惯性指数为 $0$
  • 若 $r(A)=n$，则 $A^{\mathrm{T}}A$ 正定

【证明】（1）首先证明矩阵 $A^{\mathrm{T}}A$ 为实对称矩阵。因为 $(A^{\mathrm{T}}A{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}A$，所以 $A^{\mathrm{T}}A$ 为实对称矩阵。

（2）现在用特征值证明其正定。设 $\lambda$ 是矩阵 $A^{\mathrm{T}}A$ 的特征值，所对应的特征向量为 $\alpha$，则有：$A^{\mathrm{T}}A\alpha =\lambda \alpha$，等式两边同乘 ${\alpha }^{\mathrm{T}}$ 得：${\alpha }^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}A\alpha =\lambda {\alpha }^{\mathrm{T}}\alpha$，化为内积形式即：$(A\alpha ,A\alpha )=\lambda (\alpha ,\alpha )$，显然 $\lambda \ge 0$，矩阵 $A^{\mathrm{T}}A$ 负惯性指数为 $0$。

（3）当 $r(A)=n$ 时，表示 $Ax=0$ 仅有非零解，所以 $A\alpha \ne 0$，$(A\alpha ,A\alpha )>0$，显然 $\lambda >0$，矩阵 $A^{\mathrm{T}}A$ 正定。

三、等价关系

1. 等价的定义

若矩阵 $A$ 经过有限次初等变换变成矩阵 $B$，则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价，记为 $A\cong B$。

2. 等价的判定

若 $A,B$ 是同型矩阵，则：

• $A\cong B\iff A$ 经过初等变换得到 $B$
• $A\cong B\iff PAQ=B$，其中 $P,Q$ 可逆
• $A\cong B\iff r(A)=r(B)$