第6章 二次型_二次型csdn

本笔记是对李永乐《线性代数辅导讲义》中各章节涉及的基础知识进行整理。本笔记主要用以应对夏令营面试中可能会问到的线性代数方面的问题，比较泛泛而谈，如果您对这些内容感兴趣，建议参考原书。大佬可自行绕路

更多章节内容参见：保研复习——线性代数篇-CSDN博客

目录

思维导图一：

思维导图二：

二次型的基本概念：

二次型、二次型的矩阵、二次型的秩：

标准型和规范型：

正惯性指数和负惯性指数：

坐标变换：

合同变换：

正定二次型与正定矩阵：

主要定理：

例题：

填空：

1）若二次型为正定二次型，求参数的取值范围

2）求二次型对应的矩阵并判断其正定性

计算：

1）用配方法化二次型为标准型并写出所用的可逆变换

2）二次型经正交变换化为标准型求参数和正交变换矩阵

3）判断矩阵A和B是否相似、合同

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思维导图一：

思维导图二：

二次型的基本概念：

二次型、二次型的矩阵、二次型的秩：

标准型和规范型：

正惯性指数和负惯性指数：

坐标变换：

合同变换：

正定二次型与正定矩阵：

主要定理：

例题：

填空：

1）若二次型为正定二次型，求参数的取值范围

因为二次型为正定二次型，故A的各阶顺序主子式都大于0，满足该定理即可求得t的取值范围。 

2）求二次型对应的矩阵并判断其正定性

和1）采用相同的定理进行验证即可

计算：

1）用配方法化二次型为标准型并写出所用的可逆变换

2）二次型经正交变换化为标准型求参数和正交变换矩阵

标准型对角线相加=二次型对角线相加（这个其实本质就是相似，这是因为正交矩阵的逆矩阵等于转置矩阵，所以经过正交变换得到的标准型矩阵与原始的二次型矩阵不仅正交而且相似，也就自然具备了相似的性质），所以可以快速求出t；

然后求正交变换矩阵，即是先求每个特征值对应的特征向量组成的矩阵，然后将该矩阵进行Schmidt正交变换为正交矩阵即可。

3）判断矩阵A和B是否相似、合同

如何判断两个同型矩阵 A , B 是否等价呢？
给出判别法：若 r(A)=r(B) ，则矩阵 A , B 等价。

如何判断两个 n 阶矩阵 A , B 是否相似呢？
给出判别法：若 A , B 的特征值相同且 A , B 均可以相似对角化，则矩阵 A , B 相似。

如何判断两个实对称矩阵 A , B 是否合同呢？
给出判别法：A , B 的正、负、零特征值个数相同。

从判别法可以看出，等价只要求两个矩阵的秩相同；而相似除秩相同外，还需要保证两个矩阵的行列式、迹、特征值、特征多项式也相同；合同则除秩相等外，还需保证其正、负、零特征值个数对应相同。

原文链接：【考研数学】矩阵三大关系的梳理和讨论 | 等价、相似、合同_矩阵的合同相似和全等-CSDN博客

了解了上述判别方法后，只需要求出两个矩阵的特征值判断一下即可。