微分方程（Blanchard Differential Equations 4th）中文版Section1.9

1.9 INTEGRATING FACTORS FOR LINEAR EQUATIONS

在第1.8节中，我们描述了一种用于求解某些一阶非齐次线性微分方程的猜测技术。在本节中，我们将开发一种不同的分析方法来求解这些方程。相比于上一节的技术，这种方法更为通用，因此可以成功应用于更多的方程。它还避免了“猜测”。 不幸的是，该方法涉及计算一个积分，这可能会带来问题，正如我们将看到的。 此外，它对定性分析的适应性也不强。在本节的最后，我们将讨论这两种方法的优缺点。

积分因子

给定一个非齐次线性微分方程
$$\frac{dy}{dt}=a(t)y+b(t),$$
我们如何找到它的一般解呢？有一个巧妙的技巧可以将这种形式的方程转化为一个可以通过积分求解的微分方程。与许多数学技术一样，这个技巧的巧妙之处可能会让你感到“我怎么能想到这样的方法呢？”需要记住的是，微分方程已经存在了300多年。经过三个世纪，数学家们能够发现并完善一种巧妙的方法来处理这些方程，这并不令人惊讶。

方法背后的思想

我们首先将非齐次方程重写为
$$\frac{dy}{dt}+g(t)y=b(t),$$
其中 $g(t)=-a(t)$。我们这样重写并改变符号的原因有两个：一是方程左侧的形式暗示了这种方法，二是将 $-a(t)$ 替换为 $g(t)$ 可以避免在计算中出现许多烦人的负号。
在仔细研究这个方程一段时间后（大约几十年），我们注意到，如果视力足够差，方程左侧看起来有点像使用乘积法则进行微分时得到的结果。也就是说，乘积法则指出，函数 $y(t)$ 和一个函数 $\mu (t)$ 的乘积的导数为：
$$\frac{d(\mu (t)y(t))}{dt}=\mu (t)\frac{dy}{dt}+\frac{d\mu }{dt}y(t).$$
注意到右侧的一项包含 $\frac{dy}{dt}$，另一项包含 $y$，这与我们非齐次线性方程的左侧类似。
这里是巧妙之处。将原微分方程的两边都乘以一个（尚未指定的）函数 $\mu (t)$。我们得到新的微分方程：
$$\mu (t)\frac{dy}{dt}+\mu (t)g(t)y=\mu (t)b(t).$$
这一步通过引入 $\mu (t)$ 函数，将方程转化为可与乘积法则相结合的形式，以便进一步分析和求解。其左侧看起来更像是两个函数的乘积的导数。现在，我们假设有一个函数 $\mu (t)$，使得左侧实际上是乘积 $\mu (t)y(t)$ 的导数。也就是说，假设我们找到了一个函数 $\mu (t)$ 使其满足：
$$\frac{d(\mu (t)y(t))}{dt}=\mu (t)\frac{dy}{dt}+\mu (t)g(t)y.$$
那么新的微分方程就变成：
$$\frac{d(\mu (t)y(t))}{dt}=\mu (t)b(t).$$
这样，通过选择合适的 $\mu (t)$，我们将原方程转化为一个可以直接积分求解的方程，从而简化了求解过程。
这有什么帮助呢？我们可以对这个方程的两边关于 $t$ 积分，得到：
$$\mu (t)y(t)=\int \mu (t)b(t)dt，$$
因此，
$$y(t)=\frac{1}{\mu (t)}\int \mu (t)b(t)dt.$$
也就是说，假设我们有这样的 $\mu (t)$ 并且能够计算 $\int \mu (t)b(t)dt$，我们就可以计算出解 $y(t)$。通过这种方法，我们可以将原本复杂的微分方程化简为一个可以通过积分求解的形式，从而得到解的表达式。

寻找积分因子

这种 $y(t)$ 的推导基于一个相当大的假设。那么，我们如何找到一个函数 $\mu (t)$ 使得
$$\frac{d(\mu (t)y(t))}{dt}=\mu (t)\frac{dy}{dt}+\mu (t)g(t)y(t)$$

成立呢？
将乘积法则应用于左侧，我们可以看到所需的 $\mu (t)$ 必须满足：

$$\mu (t)\frac{dy}{dt}+\frac{d\mu }{dt}y(t)=\mu (t)\frac{dy}{dt}+\mu (t)g(t)y(t).$$

在两边同时消去 $\mu (t)\frac{dy}{dt}$ 项，得到：
$$\frac{d\mu }{dt}y(t)=\mu (t)g(t)y(t).$$
因此，如果我们找到一个函数 $\mu (t)$ 满足方程：

$$\frac{d\mu }{dt}=\mu (t)g(t),$$

就可以得到所需的 $\mu (t)$。然而，最后这个方程实际上就是$\frac{d\mu }{dt}=g(t)\mu$，这是一个齐次线性微分方程，而我们已经知道其解为：
$$\mu (t)=e^{\int g(t)dt}.$$
（参见第113页以了解此解的推导过程。）
根据给定的 $\mu (t)$ 公式，我们现在可以看到这个策略是可行的。函数 $\mu (t)$ 被称为原非齐次方程的积分因子，因为如果我们将该方程乘以积分因子 $\mu (t)$，就可以通过积分来解方程。换句话说，当我们想要确定方程 $\frac{dy}{dt}+g(t)y=b(t)$ 的显式解时，我们首先计算积分因子 $\mu (t)$，然后通过将方程两边都乘以 $\mu (t)$ 并进行积分来求解方程。因为我们只需要一个积分因子 $\mu (t)$ 来解方程，所以我们选择常数是最方便的。这个选择通常是零。为了看到这种方法的作用，让我们看一些例子。这个方法看起来很一般。然而，因为有两个积分要计算，我们在寻求显式解时会遇到一些困难。

完全成功

考虑非齐次线性方程
$$\frac{dy}{dt}+\frac{2}{t}y=t-1.$$
首先，我们计算积分因子
$$\mu (t)=e^{\int g(t)dt}=e^{\int \frac{2}{t}dt}=e^{2\ln t}=e^{\ln (t^2)}=t^2.$$
记住，这种方法背后的思路是将微分方程的两边都乘以 $\mu (t)$，使得新方程的左边是乘积法则的结果。在这个例子中，乘以 $\mu (t)=t^2$ 得到
$$t^2\frac{dy}{dt}+2ty=t^2(t-1).$$
注意，左边是 $t^2$ 与 $y(t)$ 的乘积的导数。换句话说，这个方程等同于
d d t ( t 2 y ) = t