两个入门级例题了解动态规划(自用版，python)

来源地址：详解多种动态规划问题，看完必会动态规划

解题四大步：确定定义===》找初始值===》思考关系===》写代码解

例题一：青蛙跳台阶

问题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

步骤1：确定定义

问总共有多少种跳法，就设置n个台阶级的跳法是dp[n]种

步骤2：找初始值

如果只有1级台阶，那么只有一种跳法，即只能跳一级台阶，dp[1] = 1；如果有两级台阶，可以先跳一级台阶，然后再跳一级台阶，或者直接跳两级台阶。一共有两种跳法，即dp[2] = 2;

那么初始值就设为dp[1] = 1， dp[2] = 2；

步骤3：思考关系

这一步可以用穷举分析法，然后发现规律，列出状态转移方程。

针对这一题，穷举分析如下：

为方便阅读，列了个表可视化

看着这个表，其实可以思考一下，将跳法理解为最后一步是跳1级还是跳2级，表可以这么改：

然后，可以观察出来这么一个规律，即f(n)=f(n-1)+f(n-2)，这就是斐波那契数列咯！本题本质就是求斐波那契数列的变体解问题。

步骤4：写代码解

依据以上的关系等式写代码就好

class Solution:
    def numWays(self, n):
        dp = [0 for i in range(n+1)]
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2
 
        for i in range(3, n+1):
            dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2]) % 1000000007
        return dp[n]

例题二：连续子数组的最大和

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

【示例】
输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]。输出: 6。解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 和最大，为 6。

继续以上的四大步！

步骤1：确定定义 

定义某个子数组的和最大值为max_num，动态规划是自底向上不断循环每一步的最优解来使得全局最优，全局最优解max_num已经有了，再设出每一步的局部最优解dp[i]（i为循环这个数组的次数，值为每次循环中求得的最大数组）。

步骤2：找初始值

初始值很好设置，就将第一步的局部最优解和全局最优解设置为数组的第一个数字，即nums[0]，毕竟要循环它嘛，后面根据循环不断变更这两个值就行。

步骤3：思考关系

如果在循环的过程中，子数组m加上下一个值n的和小于n，即m+n<n，那此时子数组m成为了n的累赘，这时就让n成为新的子数组，继续循环。 如果子数组m加上下一个值n的和大于n，即m+n>n，就将n加到m中，新的子数组就是m+n，即使n的值可能为负数，因为后面可能会有更大的正数，如果遇到n为负数就停滞不前了，那后面如果存在连续很多个都是正数，就得不到想要的最大值了(其实这里我暂时还没完全理解到，如果有大佬看到，希望可以通俗易懂的讲解一下，万分感谢！)。

然后就可以构造出关系式了，就是每次循环中子数组的和应该怎么取：

dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])

步骤四：写代码解

class Solution:
    def max_sumsubarray(self, nums):
        dp = [0 for i in range(len(nums))]
        dp[0] = nums[0]
        max_num = nums[0]
 
        for i in range(1, len(nums)):
            dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
            max_num = max(max_num, dp[i])
        return max_num
 
 
if __name__ == '__main__':
    solution = Solution()
    nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
    num = solution.max_sumsubarray(nums)
    print(num)

我下来再理解一下吧，脑子不太灵光，哈哈哈，这个理解透了再去看看其他更难的动态规划题。