初等排序——插入排序、冒泡排序、希尔排序

对于一个给定包含n个元素的数组，我们总需要将其按照相对大小进行排序，进而方便进行数据处理。如排序学生的成绩，员工的薪水。这就设计到了排序算法

今天我学习的是三种初等排序方法——插入排序、冒泡排序、希尔排序

对于不同的排序算法，我们有几个重要的关注点：
1.时间复杂度：是数组元素n的函数，越低效率越高

2.排序的稳定性：当数据中存在2个或2个以上的数值相等的元素时，这些元素在排序处理前后的顺序不变，被称为排序的稳定性

一、插入排序

想象自己正在打扑克牌，一开始收到的一手牌是无序的，若我们需要将其由小到大地排序，则我们从左往右检索每一张牌，当找到的牌比前面的牌数值要小时，就插入到前面去，逐步进行直到手牌有序

插入排序就是模拟这样的一个过程

假定我们现在要将数组由小到大排序

我们将数组从左到右划分为有序部分和无序部分

每次检索无序部分的第一个元素（称其为a），并将其逐渐往前与有序部分作比较，当找到第一个比a小的元素（称其为b）时，将a插到b的下一位。届时，我们就多排好了一个元素。继续循环下去，直到将无序部分的元素全部插入有序部分，即完成了对数组的排序

由于一开始数组无序，我们认为第一个元素有序即可

如何将a插入到b的下一位呢？我们只需要将有序部分中比a大的元素全都往后移一位即可（直接覆盖后一位）

实现代码如下：

void InsertSort(int* nums, int numsSize){
    for(int i=1；i<numsSize;i++){//认为nums[0]有序
        int j=i-1;//从nums[i]的前一位开始查找，即有序部分的最后一位
        int check=nums[i];
        while(j>=0&&nums[j]>check){
            nums[j+1]=nums[j];//向后移动一位，覆盖原元素
            j--;
        }
        nums[j+1]=check;//找到比nums[i]小的元素nums[j]后，在其下一位插入nums[i]
    }
}

研究排列数组的不同情况，我们有：

当插入排序对完全逆序的数组进行排序时，每一个元素都要向前插入，此时其时间复杂度为O()

当插入排序对完全顺序的数组进行排序时，每一个元素只需检索一次，此时其时间复杂度为O(n)

在插入排序中，我们只将比check大的元素向后平移，不相邻的元素不会直接交换位置，因此整个排序算法十分稳定

二、冒泡排序

冒泡排序法就是让数组元素像水中的气泡一样逐渐上浮，从而达到排序的目的。

冒泡排序同样将数组分为有序部分与无序部分，并假定一开始的有序部分为空

假定我们要将数组由小到大排序

则每检索一次无序部分，我们就当将其中的最大元素上浮（到数组最右边）到有序部分

如此循环，我们就可以将第二大、第三大的元素逐个排到有序部分，进而完成数组的排序

那们如何找到无序部分的最小值并将其上浮呢？

我们采用相邻元素对比并交换的方法：

对于给定的数组{a,b,c,d,e,f,g}

研究元素a与b，若a>b，则将a与b位置交换，从而使较大的a向右移动一位

接着再比较a与c，如此循环，从而将数组中的最大值移动到数组最右边

我们只需要循环n次上述对无序部分检索的步骤，即可将数组排序

至此，我们可以写出实现代码：
 

void BubbleSort(int* nums, int numsSize){
    for(int i=0;i<numsSize;i++){        //i可以表示已排序的元素个数
        for(int j=0;j<numsSize-1-i;j++){//无序部分长度为数组长度-有序部分长度
            if(nums[j]>nums[j+1]){      //再-1是为了保证[j+1]不溢出
                int tem=nums[j+1];
                nums[j+1]=nums[j];
                nums[j]=tem;            //交换位置
            }
        }
    }
}                     

该算法的时间复杂度为O()

因为冒泡排序仅对数组中的相邻元素进行比较和交换，因此数值相同的元素并不会改变顺序，所以冒泡排序具有稳定性

tips:若将if中的判断条件的>改为>=，则数值相等时两个元素会交换位置，此时不再具有稳定性

三、希尔排序

前面两种算法的时间复杂度最高都为O()，当n很大时，时间消耗很高

那么能不能对其进行一些优化，尽量减少其时间复杂度呢？

我们把目光看向插入排序，发现，当被排列的数组越接近有序时，插入排序所需要的时间越少

那么，我们能否设计一种算法，在使用插入排序之前，使数组尽量有序？

这就是希尔排序的设计思路

假定给出一个数组{2,5,3,8,9,6,3,4,7,1}，个数n=10

我们先对其进行预处理：

按照一定的间隔gap，将其分为几个组

当gap等于5时，我们有：

{2,6} , {5,3} , {3,4} , {8,7} , {9,1}

对这五个小数组，我们将其从小到大排序，于是原数组被改造为：

{2,3,3,7,1,6,5,4,8,9}

再取gap的值为2

我们有：

{2,3,1,5,8} , {3,7,6,4,9}

对其从小到大进行排序，原数组被改造为：

{1,3,2,4,3,6,5,7,8,9}

此时数组已经变得接近有序，我们再使用插入排序，即可完成排序

为什么将大数组按一定间隔分组后排序，大数组会逐渐变得有序呢？

因为我们在给小数组排序的过程中，已经尽量地将相对小的元素排列在左边，而相对大的元素排列在右边

那么我们如何实现对小数组的排序呢？

对不同的数组，我们应当设置不同的gap值，对不同的gap，给小数组排序的总次数就不同，这就会导致代码量的改变，那么我们如何避免这一个问题呢？

观察直接插入排序的实现代码，我们可知，在将无序部分第一个元素b插入有序部分时，比a大的元素全都移到了它们的下一位，这是因为它们的排序是连续的。那么对于存在gap的不连续的小数组而言，我们也只需要对其使用插入排序，并在插入时将其后移到下gap位即可

我们如何确定gap的值的大小呢？

希尔排序的时间复杂度与gap值的确定方式息息相关，这是一个复杂的问题，涉及到一些数学上未能攻克的难题

最初希尔排序的发明者——希尔提出的gap=n/2，每排序完一次小数组，gap/=2，使gap变为原来的1/2,直到gap==1时变为直接插入排序

后来Knuth提出了gap=(gap/3)+1,使每次排序过后gap变为原来的1/3,（加1是为了防止gap<=3时gap/3==0的情况）,在这种情况下，时间复杂度基本维持在O()

在这里我们采用希尔的方法确定gap的值

至此，我们可以写出实现代码如下：

void ShellSort(int* nums, int numsSize){
    int gap=numsSize;
    while(gap>1){
        gap/=2;                      //gap的值减少一半
        for(int i=0;i<n-gap;i++){    //通过i所指的元素，确定我们在排序哪个小数组
            int end=i;                 
            int temp=nums[end+gap];   //end跳跃一个gap，即为等待插入的值temp
            while(end>=0){           //end用于判断是否超出小数组左边
                if(temp<nums[end]){   //temp比小数组中其前一个元素小时，前一个元素向后移动gap尾
                    nums[end+gap]=nums[end];
                    end-=gap;        //检索小数组中更前一个元素
                else{
                    break;           //当检测到小的，不再前插
                }
            }
        nums[end+gap]=temp;           //将temp插到end后第gap个，即小数组中end的下一个
    }
}