圆柱体稳态温度分布 | 分离变量法（二）| 偏微分方程（十四）_半径为a的无限长圆柱体, 侧面保持温度为u0cos2φsinωt, 初始温度为0, 试求其温度

今有无限长圆柱体$(x^2+y^2<a^2,-\infty <z<+\infty )$， 内部无热源，边界柱面温度保持为$F(x,y)$，求柱内稳态温度分布。

注意到圆柱的对称性及柱面温度分布与z无关，可设柱内温度为$u(x,y)$与z无关。u满足二维Laplace方程圆内第一边值问题，也称Dirichlet问题
{ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , x 2 + y 2 < a 2 u ∣ x 2 + y 2 = a 2 = F ( x , y ) (5)

$$\begin{cases} \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0,\quad x^2+y^2<a^2 \\ u|_{x^2+y^2=a^2}=F(x,y) \tag{5} \end{cases}$$ {∂x2∂2u​+∂y2∂2u​=0,x2+y2<a2u∣x2+y2=a2​=F(x,y)​(5)
在第1章中曾就$F(x,y)$为多项式利用调和多项式求解，对任意给定的$F(x,y)$也可利用“复变函数”中给出的Poisson积分公式求解，这里用分离变量法求解。

由于求解区域为平面圆域，应采用极坐标$(r,\theta ):x=r\cdot cos\theta ,y=r\cdot sin\theta$。记柱内温度分布为$u(r,\theta )$，极坐标下边值（5）式为
{ 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 u ∂ θ 2 = 0 u ∣ r = a = F ( a c o s θ , a s i n θ ) = f ( θ )

$$\begin{cases} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial u}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial \theta^2}=0 \\ u|_{r=a}=F(acos\theta,asin\theta)=f(\theta) \end{cases}$$ {r1​∂r∂​(r∂r∂u​)+r21​∂θ2∂2u​=0u∣r=a​=F(acosθ,asinθ)=f(θ)​
这是$(r,\theta )$平面的矩形域$(0\le r<a,-\infty <\theta <+\infty )$上的问题，可进行分离变量。

令$u(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$，代入方程，同除以$u$，有
$$\frac{\frac{1}{r}(r{R}^{\prime }(r))’}{R(r)}+\frac{{\Theta }^{\prime \prime }(\theta )}{r^2\Theta (\theta )}=0$$
分离出两个常微分方程
$$\begin{gathered} {\Theta }^{\prime \prime }(\theta )+\lambda \Theta (\theta )=0(6a) \\ \frac{1}{r}(r{R}^{\prime }(r){)}^{\prime }-\frac{\lambda }{r^2}R(r)=0(7a) \end{gathered}$$
$\Theta (\theta )$蕴含周期条件
$$\Theta (\theta +2\pi )=\Theta (\theta )$$
与$\Theta (\theta )$的方程构成固有值问题
{ Θ ′ ′ ( θ ) + λ Θ ( θ ) = 0 Θ ( θ + 2 π ) = Θ ( θ ) (6b)

$$\begin{cases} \Theta''(\theta)+\lambda\Theta(\theta)=0 \\ \Theta(\theta+2\pi)=\Theta(\theta) \tag{6b} \end{cases}$$ {Θ′′(θ)+λΘ(θ)=0Θ(θ+2π)=Θ(θ)​(6b)
类似上例讨论可知

当$\lambda =-{\omega }^2<0$时，（6a）式的通解为$\Theta (\theta )=A{e}^{\omega \theta }+B{e}^{-\omega \theta }$，无非零周期解；

当$\lambda =0$时，通解为$\Theta (\theta )=A+B\theta$，有周期解${\Theta }_0(\theta )\equiv 1$;

当$\lambda ={\omega }^2>0$时，（6a）式的通解为
$$\Theta (\theta )=Acos\omega \theta +Bsinw\theta$$
当且仅当$w=n(n=1,2,\cdot \cdot \cdot )$时，该通解以$2\pi$为周期。

综上所述，以$2\pi$为周期的周期条件下的固有值问题（6b）式的固有值是
$${\lambda }_n=n^2,n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot ,$$
相应的固有函数为
$${\Theta }_n(\theta )=A_{n}cosn\theta +B_{n}sinn\theta$$
或记为
Θ n ( θ ) = { c o s   n θ s i n   n θ } \Theta_n(\theta)=

$$\begin{Bmatrix} cos\space n\theta \\ sin \space n\theta \end{Bmatrix}$$ Θn​(θ)={cos nθsin nθ​}
注意，这里对$n\ne 0$，一个固有值对应于两个线性无关的固有函数，物理上称为简并现象。

当固有值${\lambda }_n=n^2$，相应的$R(r)$的方程（7a）是欧拉（Euler）方程
$$r^2{R}^{\prime \prime }(r)+r{R}^{\prime }(r)-n^{2}R(r)=0$$
在自变量代换$r=e^t$下，变为常系数方程
$$\frac{d^{2}R}{d{t}^2}-n^{2}R=0$$
其通解为
$$\begin{gathered} R_0=C_0+D_{0}t=C_0+D_{0}lnr \\ {R}_n=C_n{e}^{nt}+D_n{e}^{-nt}=Cn{r}^n+D_n{r}^{-n},n=1,2,\cdot \cdot \cdot ， \end{gathered}$$
由问题的物理意义，显然在中心$r=0$需有自然边界条件
$$|R(0)|<+\infty$$
故
$$\begin{gathered} D_0=D_n=0 \\ {R}_0(r)=1,R_n(r)=r^n \end{gathered}$$
得园内二维Laplace方程变量分离形状的周期解
u 0 ( r , θ ) = 1 , u n ( r , θ ) = { c o s   n θ s i n   n θ } r n , n = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ . u_0(r,\theta)=1, \quad \\ u_n(r,\theta)=

$$\begin{Bmatrix} cos\space n\theta \\ sin\space n\theta \end{Bmatrix}$$ r^n,\quad n=1,2,···. u0​(r,θ)=1,un​(r,θ)={cos nθsin nθ​}rn,n=1,2,⋅⋅⋅.
由叠加原理，设
$$u(r,\theta )=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\infty }(\frac{r}{a}{)}^n(A_{n}cosn\theta +B_{n}sinn\theta )\text{\hspace{1em}(8)}$$
代入边界条件（5）式得
$$u(a,\theta )=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\infty }(A_{n}cosn\theta +B_{n}sinn\theta )=f(\theta )$$
这是$f(\theta )$在$[0,2\pi ]$上的Fourier展开式，故对$n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot$都有
$$\begin{gathered} A_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(\phi )cosn\phi d\phi (9a) \\ {B}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(\phi )sinn\phi d\phi (9b) \end{gathered}$$
将此$A_n,B_n$代入（8）式，便可得二维Laplace方程园内第一边值问题（5）式的形式解

当$f(\theta )$是圆周上的连续函数时，可直接验证（8）式、（9a）式、（9b）式给出了（5）式的古典解。利用调和函数的极值原理，还可证明Dirichlet问题（5）式的解唯一、稳定。
$$\begin{gathered} u(r,\theta )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(\phi )d\phi +\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{+\infty }(\frac{r}{a}{)}^n{\int }_0^{2\pi }f(\phi )[cosn\phi cosn\theta +sinn\phi sinn\theta ]d\phi \\ =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(\phi )[1+2\sum _{n=1}^{+\infty }(\frac{r}{a}{)}^{n}cosn(\phi -\theta )]d\phi \end{gathered}$$
若令$z=\frac{r}{a}{e}^{i(\phi -\theta )}$，则$(\frac{r}{a}{)}^{n}cosn(\xi -\theta )=Re{z}^n$。利用公式${\sum }_{n=0}^{+\infty }{z}^n=\frac{1}{1-z}(|z|<1)$，不难求出上式中
$$1+2\sum _{n=1}^{+\infty }(\frac{r}{a}{)}^{n}cosn(\phi -\theta )=\frac{a^2-r^2}{a^2-2arcos(\phi -\theta )+r^2}$$
从而
$$u(r,\theta )=\frac{a^2-r^2}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{f(\phi )}{a^2-2arcos(\phi -\theta )+r^2}d\phi$$
即为Poisson积分公式。

公式（8）可作为园内Laplace方程的一般形式。从以上推导公式（8）的过程可见，圆外$(r>a)$$Laplace$方程有界解的一般形式为
$$u(r,\theta )=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\infty }(\frac{a}{n}{)}^n(A_{n}cosn\theta +B_{n}sinn\theta ),\text{\hspace{1em}(r>a)}$$
而环域$a_1<r<a_2$内Laplace方程解的一般形式则为
$$u(r,\theta )=\frac{C_0}{2}+\frac{D_0}{2}lnr+\sum _{n=1}^{+\infty }(C_n{r}^n+D_n{r}^{-n})(A_{n}cosn\theta +B_{n}sinn\theta )$$
其中，系数$A_n,B_n,C_n,D_n$都可根据边界条件，利用Fourier展开的系数公式定出。