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动态规划算法：斐波那契数列模型_动态规划算法 求解斐波那契数列
作者：代码探险家 | 2024-08-04 17:25:16
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动态规划算法 求解斐波那契数列
例题一
解法（动态规划）
算法流程
1.
状态表⽰：
这道题可以「根据题⽬的要求」直接定义出状态表⽰： dp[i] 表⽰：第
i
个泰波那契数的值。
2.
状态转移⽅程：
题⽬已经⾮常贴⼼的告诉我们了：
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]
3.
初始化：
从我们的递推公式可以看出，
dp[i]
在
i = 0
以及
i = 1
的时候是没有办法进⾏推导的，因为 dp[-2]
或
dp[-1]
不是⼀个有效的数据。 因此我们需要在填表之前，将 0, 1, 2
位置的值初始化。题⽬中已经告诉我们
dp[0] = 0, dp[1] = dp[2] = 1 。
4.
填表顺序：
毫⽆疑问是「从左往右」。
5.
返回值：
应该返回
dp[n]
的值。
例题二
解法（动态规划）
算法思路
1.
状态表⽰
这道题可以根据「经验 + 题⽬要求」直接定义出状态表⽰：
dp[i]
表⽰：到达
i
位置时，⼀共有多少种⽅法。
2.
状态转移⽅程
以 i 位置状态的最近的⼀步，来分情况讨论：
如果 dp[i]
表⽰⼩孩上第 i 阶楼梯的所有⽅式，那么它应该等于所有上⼀步的⽅式之和：
i.
上⼀步上⼀级台阶， dp[i] += dp[i - 1] ；
ii.
上⼀步上两级台阶， dp[i] += dp[i - 2] ；
iii.
上⼀步上三级台阶， dp[i] += dp[i - 3]
；
综上所述，
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]
。
需要注意的是，这道题⽬说，由于结果可能很⼤，需要对结果取模。
在计算的时候，三个值全部加起来再取模，即
(dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3])
% MOD
是不可取的，同学们可以试验⼀下，
n
取题⽬范围内最⼤值时，⽹站会报错
signed
integer overflow
。
对于这类需要取模的问题，我们每计算⼀次（两个数相加/乘等），都需要取⼀次模。否则，万⼀
发⽣了溢出，我们的答案就错了。
3.
初始化
从我们的递推公式可以看出，
dp[i]
在
i = 0, i = 1
以及
i = 2
的时候是没有办法进⾏推导的，因为 dp[-3] dp[-2]
或
dp[-1]
不是⼀个有效的数据。因此我们需要在填表之前，将 1, 2, 3
位置的值初始化。根据题意， dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4
。
4.
填表顺序
毫⽆疑问是「从左往右」。
5.
返回值
应该返回
dp[n]
的值。
例题三
解法（动态规划）
算法思路：
1.
状态表⽰：
这道题可以根据「经验 + 题⽬要求」直接定义出状态表⽰：
dp[i]
表⽰：到达
i
位置时的最⼩花费。（注意：到达
i
位置的时候，
i
位置的钱需要算上）
2.
状态转移⽅程：
根据最近的⼀步，分情况讨论：
▪
先到达 i - 1
的位置，然后⽀付
cost[i] ，接下来⾛⼀步⾛到 i 位置： dp[i - 1] + cost[i] ；
▪
先到达 i - 2
的位置，然后⽀付
cost[i] ，接下来⾛⼀步⾛到 i 位置： dp[i - 2] + csot[i] 。
3.
初始化：
从我们的递推公式可以看出，我们需要先初始化
i = 0
，以及
i = 1
位置的值。容易得到dp[0] =cost[0], dp[1] = cost[1] ，因为不需要任何花费，就可以直接站在第
0
层和第
1
层上。
4.
填表顺序：
根据「状态转移⽅程」可得，遍历的顺序是「从左往右」。
5.
返回值：
根据「状态表⽰以及题⽬要求」，需要返回
dp[n-1]和dp[n-2]
位置较小的值。
例题四
解法（动态规划）：
算法思路：
类似于斐波那契数列~
1.
状态表⽰：
根据以往的经验，对于⼤多数线性
dp
，我们经验上都是「以某个位置结束或者开始」做⽂章，这
⾥我们继续尝试「⽤ i 位置为结尾」结合「题⽬要求」来定义状态表⽰。
dp[i] 表⽰：字符串中
[0
，
i] 区间上，⼀共有多少种编码⽅法。
2.
状态转移⽅程：
定义好状态表⽰，我们就可以分析 i 位置的
dp
值，如何由「前⾯」或者「后⾯」的信息推导出
来。关于 i 位置的编码状况，我们可以分为下⾯两种情况：
i.
让 i 位置上的数单独解码成⼀个字⺟；
ii.
让 i 位置上的数与 i - 1
位置上的数结合，解码成⼀个字⺟。
下⾯我们就上⾯的两种解码情况，继续分析：
◦
让 i 位置上的数单独解码成⼀个字⺟，就存在「解码成功」和「解码失败」两种情况：
i.
解码成功：当 i 位置上的数在 [1, 9]
之间的时候，说明
i
位置上的数是可以单独解码的，那么此时
[0, i]
区间上的解码⽅法应该等于
[0, i - 1]
区间上的解码⽅法。因为 [0, i - 1]
区间上的所有解码结果，后⾯填上⼀个
i
位置解码后的字⺟就可以了。此时dp[i] = dp[i - 1] ；
ii.
解码失败：当 i 位置上的数是
0
的时候，说明
i
位置上的数是不能单独解码的，那么 此时 [0, i]
区间上不存在解码⽅法。因为
i
位置如果单独参与解码，但是解码失败了，那么前⾯做的努⼒就全部⽩费了。此时 dp[i] = 0
。
◦
让
i
位置上的数与
i - 1
位置上的数结合在⼀起，解码成⼀个字⺟，也存在「解码成功」和「解码失败」两种情况：
i.
解码成功:当结合的数在 [10, 26]
之间的时候，说明
[i - 1, i]
两个位置是可以解码成功的，那么此时[0, i] 区间上的解码⽅法应该等于
[0, i - 2
] 区间上的解码⽅法，原因同上。此时dp[i] = dp[i - 2] ；
ii.
解码失败：当结合的数在 [0, 9] 和
[27 , 99]
之间的时候，说明两个位置结合后解码失败（这⾥⼀定要注意 00 01 02 03 04 ...... 这⼏种情况），那么此时 [0, i]
区间上的解码⽅法就不存在了，原因依旧同上。此时 dp[i] = 0
。
综上所述：
dp[i]
最终的结果应该是上⾯四种情况下，解码成功的两种的累加和（因为我们关⼼
的是解码⽅法，既然解码失败，就不⽤加⼊到最终结果中去），因此可以得到状态转移⽅程
（
dp[i]
默认初始化为
0
）：
i.
当s[i] 上的数在
[1, 9]
区间上时：
dp[i] += dp[i - 1]
；
ii.
当 s[i - 1] 与
s[i]
上的数结合后，在
[10, 26]
之间的时候：
dp[i] += dp[i - 2] ；
如果上述两个判断都不成⽴，说明没有解码⽅法， dp[i] 就是默认值
0
。
3.
初始化：
⽅法⼀（直接初始化）：
由于可能要⽤到
i - 1
以及
i - 2
位置上的 dp 值，因此要先初始化「前两个位置」。
初始化
dp[0]
：
i.
当 s[0] == '0' 时，没有编码⽅法，结果 dp[0] = 0 ；
ii.
当 s[0] != '0' 时，能编码成功， dp[0] = 1
初始化
dp[1]
：
i.
当 s[1]
在
[1
，
9]
之间时，能单独编码，此时
dp[1] += dp[0]
（原因同上， dp[1] 默认为
0
）
ii.
当 s[0]
与
s[1]
结合后的数在
[10, 26]
之间时，说明在前两个字符中，⼜有⼀种编码⽅式，此时 dp[1] += 1
⽅法⼆（添加辅助位置初始化）：
可以在最前⾯加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
i.
辅助结点⾥⾯的值要保证后续填表是正确的；
ii.
下标的映射关系
4.
填表顺序：
毫⽆疑问是「从左往右」
5.
返回值：
应该返回
dp[n - 1]
的值，表⽰在
[0, n - 1]
区间上的编码⽅法。
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