理论分析 | 势流理论与水动力

一、前言

  对于漂浮式风机系统，当我们讨论它在波浪上的摇荡运动时，浮式基础（以下简称浮体）受到的流体作用力主要有：波浪扰动力、因浮体摇荡而受到的流体反作用力和因浮体摇荡偏离平衡位置而产生的静水恢复力。波浪扰动力与流体反作用力属于水动作用力，由液体流动引起。静水恢复力属于静水作用力，由静水压力引起。浮体在运动过程中所遭受的流体动作用力是很非常难求解的。从原则上讲，浮体受力和运动要同时求解。因为，浮体的运动决定了它所受流体作用力的大小，反过来，受力又影响了浮体的运动，两类问题是互相㻦合的。通常，我们采用流体力学中的势流理论近似计算水动作用力。

  浮式风机的水动力确定是流体力学中典型的波物相互作用问题。为了使问题的求解变为可能，我们作出了如下的近似和假设：（1）浮体视为无弹性变形的理想刚体；（2）流体假定为连续、均匀、不可压缩的理想流体（无粘性流体）；（3）流场的流动始终是无旋的（无旋流动）；（4）浮体是无航速的且运动是微幅的；（5）浮体的特征尺度与波长属于同一量级；（6）入射波是微幅波（微幅波假定）；（7）流场的变化不会引起其上部大气压的变化。在这些前提下，浮体运动的流体动力问题就可以在势流理论的基础上加以处理。

二、流体力学的控制方程

  任何流体的流动过程都遵守物理学三大守恒定律，即：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。根据这三大守恒定律，可推导出流体力学的三大基本方程（以下简称控制方程 Governing Equations），即：连续性方程（Continuity Equation）、动量方程（Momentum Equation）和能量方程（Energy Equations）。动量方程是通过对对流体微团应用动量守恒定律或牛顿第二定律得到的，著名的欧拉方程（Euler Equation）和纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）属于动量（守恒）方程。欧拉方程是描述无黏性流体动量守恒的运动方程，纳维-斯托克斯方程是描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。（三大守定律三套方程/控制方程不完备）

  控制方程是流体所遵守的普遍物理规律的数学描述，任何流体的流动都受到控制方程的制约。从数学角度讲，控制方程是三个偏微分方程组（PDE），任何流体力学问题都是在控制方程的基础上进行求解的，漂浮式风机承受的水动力问题也不例外。通常，控制方程是不封闭的，即方程组中未知量的个数大于独立方程的个数。不封闭的方程组无法求得唯一解，只有当方程组封闭时才有可能才有可能存在唯一解。为了使方程组封闭，需结合实际列出新的方程（补充方程）。例如，给出密度、比热、粘性系数、导热系数随温度、压强的变化关系等。实际问题千差万别，它们的差异性体现在定解条件上（初始条件与边界条件），为了获得具体问题的解答，还需要给出定解条件，这样我们就有机会得到问题的确定的唯一解答。

  在大多数情况下，由控制方程和补充方程构成的完备的偏微分方程组求解难度极大。截至目前，我们还没有找到方程组的通解。这主要是由方程的高度非线性造成的，非线性的来源主要是因为方程中包含了流速、压强、密度、粘度、温度等变量，而这些变量又都是空间位置和时间的函数。为了解决这一困难，我们还需根据问题的特点，作进一步的假设、简化和近似，并结合定解条件，求得具有一定精度的近似特解。（方程组通解非常难求解/勉强能求出特解）

三、速度势与拉普拉斯方程

  对于不可压缩流体（密度变化可以忽略），连续性方程可化简为 $f(v\text{v}v)=0$ 形式，这是一个线性偏微分方程，方程中仅包含一个变量，即速度矢量 $v\text{v}v$。对于不可压缩的理想流体，动量方程可化简为 $g(v\text{v}v,p)=0$ 形式，这是一个由三个偏微分方程构成的非线性方程组（三个方向各一个），方程中包含两个变量，即速度矢量 $v\text{v}v$ 和压力 $p$ 。对均匀、不可压缩的理想流体，从上述四个方程式（连续性方程一个/动量方程三个）中，原则上可以求解出四个未知数，即速度 $v\text{v}v$ 的三个分量和压力 $p$，方程式是自封闭的。但由于动量方程（对于理想流体称作欧拉运动方程）的非线性性质，求解相当困难。（非线性偏微分方程组求解非常困难）

  根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为有旋流动和无旋流动。对于无旋流动的流场，存在一个标量函数 $\varphi$ 使得流场内任意一点处的速度矢量 $v\text{v}v$ 可通过这个标量函数 $\varphi$ 表示，这个函数就是流场的速度势函数。对于势函数存在的流动称为有势流动，简称势流（Potential Flow）。值得注意的是，速度势的存在仅与无旋性有关，与流体是否可压缩、流动是否定常无关。在有势流动的流场中，流场内任意一点处的速度矢量 $v\text{v}v$ 与速度势 $\varphi (x,y,z,t)$ 有如下关系：

$$v\text{v}v=\nabla \cdot \varphi \text{\hspace{1em}(3-1)}$$

式中，倒三角符号为哈密尔顿算子；$\varphi$ 为流场的速度势函数，它是位置坐标和时间的函数；$v\text{v}v$ 为速度矢量，它有三个分量即 $v_x$、$v_y$ 和 $v_z$。当流场的流动是无旋的，上述问题（非线性偏微分方程的求解）将很大程度上得到简化。将式（3-1）分别代入不可压缩理想流体的连续性方程和动量方程，化简后可得到拉普拉斯（Laplace）方程和拉格朗日（Lagrange）积分式（又称非定常的伯努利定理，简称伯努利方程），分别如式（3-2）和式（3-3）所示。

$${\nabla }^2\varphi =0\text{\hspace{1em}(3-2)}$$

$$-\frac{p}{\rho }+gy+\frac{{v\text{v}v}^2}{2}+\frac{\partial \varphi }{\partial t}=C(t)\text{\hspace{1em}(3-3)}$$

式中，$\rho$ 为流体密度；$g$ 为重力加速度；$y$ 为垂向坐标（重力方向）；$v\text{v}v$ 为速度矢量，它是位置坐标和时间的函数；$C(t)$ 为待定的时间 $t$ 的函数，需根据问题给出的条件决定（无旋流体必是有势流动）。于是，对均匀、不可压缩理想流体的无旋运动， 制约流动的基本方程即为拉晋拉斯方程（3-2）和拉格朗日积分式（3-3）。前一方程决定流场中的速度分布， 后一方程决定流场中的压力分布。通常，在无自由面存在的情况中，这两个方程并不耦合。这样，就把原来求解欧拉方程与连续性方程的耦合方程组的问题变成线性的拉普拉斯方程的求解问题，问题已大为简化。拉普拉斯方程作为椭圆型方程中最简单和最典范的形式，在数学上已有许多详尽的研究， 它的求解有许多很好的数学方法。

四、拉普拉斯方程的定解条件

  在无旋条件下，制约均匀、不可压缩理想流体流动的基本方程就是拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是二阶线性偏微分方程，它的具体形式如下式所示：

$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}=0\text{\hspace{1em}(4-1)}$$

  当速度势 $\varphi$ 确定后，流场内任意一点处的流速 $v$ 由式（4-2）确定。将 $\varphi$ 和 $v$ 代入伯努利方程，可求得流场的压力分布 $p(x,y,z,t)$ 。压力函数在浮体瞬时湿表面上积分可得到浮体瞬时所承受的流体作用力（力和力矩），进而可以建立起浮体运动的微分方程。由以上的讨论可知，问题的重点归结为速度势函数 $\varphi$ 的确定，即拉普拉斯方程的求解。（速度势 → 速度 → 压力 → 集中力 ）

$$\begin{array}{c}{v}_x=\frac{\partial \varphi }{\partial x}{v}_y=\frac{\partial \varphi }{\partial y}{v}_z=\frac{\partial \varphi }{\partial z}\\ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\end{array}\text{\hspace{1em}(4-2)}$$

  实际问题是千变万化的，这些实际问题的差别体现在边界条件和初始条件（统称为定解条件）上的不同。在给定了合适的定解条件后，拉普拉斯方程的解是唯一确定的。相应地，在给定的定解条件下求解控制微分方程的数学问题称为定解问题（求微分方程的特解/边值问题）。对边界条件和初始条件给出正确的数学描述几乎与求解方程本身同等重要。需要指出的是，边界系指所有的流场边界。在无界流场中应包括括无限远处的辐射条件。若遗漏某些边界，则不能保证解的唯一性。当全部边界上的 $\varphi ($ 或 $\frac{\partial \varphi }{\partial n})$ 给定后，整个流场中的速度势就唯一地确定下来。物面、波面、底面及无穷远处的控制面构成了流体域的完整边界，整场速度势是在这个区域内进行求解的。因此，拉普拉斯方程的边界条件主要有：自由面条件 [F]、物面条件 [S]、底部条件 [B] 和辐射条件 [R]。对于拉普拉斯方程，无需给出整场的初始条件，只需要给出边界上的初始条件，即初始时刻（$t=0$）边界上初始位置和速度。上述条件一经确定，在每一瞬时，场内各点的相应的物理量也就确定了。（拉普拉斯方程在合适的定解条件下解答唯一）

表 1 拉普拉斯方程的边界条件

  在忽略大气压力变化、不计自由面的表面张力时，对于无旋、均匀、不可压缩的理想流体，在自由液面上满足的统一的自由面条件为：

$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}+g\frac{\partial \varphi }{\partial y}+\frac{1}{2}\nabla \varphi \cdot \nabla (\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi )+2\nabla \varphi \cdot \nabla \frac{\partial \varphi }{\partial t}=0\text{\hspace{1em}(4-3)}$$

  显然，这一自由面条件是非线性的。因此，尽管拉普拉斯方程本身是线性的，但由于自由面条件的非线性性质， 使得有自由面存在时的流体动力学问题本质上是个非线性问题。而且，满足自由面边界条件的自由面形状和位置本身也是末知的， 这给速度势的求解造成了极大的困难， 即便用数值法求解， 也遇到如何对辐射条件作出正确的数学描述的问题。（拉普拉斯方程是线性的/自由面条件是非线性的）

五、非线性问题的摄动解法

  拉普拉斯方程是线性的，自由面边界条件是非线性的，非线性的边界条件给线性方程的求解带来了极大的困难。通常，我们可以采用摄动法（Perturbation Method）解决这一问题。摄动法又称小参数展开法，利用摄动法可求偏微分方程的近似解（了解更多见：非线性微分方程的近似解析求解——摄动法）。

  在摄动理论中，我们认为方程的精确解可以用一个渐近展开式（幂级数）表示，方程的近似解，而方程的近似解可通过对渐近展开式（幂级数）进行截断得到，即舍去全部的高阶项仅保留渐近展开式（幂级数）的开头少数几项。显然，近似解的精度取决于保留项的个数，被保留的项数越多，近似解的精度越高，但方程的求解难度也会增大，因此我们要平衡计算精度与求解难度。通常，我们仅保留渐近展开式（幂级数）的前两项或前三项作为方程的近似解。表示方程解的渐近展式（幂级数）可以根据参数（小的或大的）引出，这个参数可以是自然地出现在方程组中的，也可以是为了方便起见而人为引进的，这样的展开式称为参数摄动。将近似解代入偏微分方程和定解条件后，可得各级近似方程，近似方程的解即为渐近展开式（幂级数）的系数，由此便得到原方程的近似解答。

  在波物相互作用的研究中，一般选取入射波的波陡为摄动参数 $\epsilon$，速度势、自由面（波面）、物面等物理量均按 $\epsilon$ 作摄动展开，代入相关方程，求解可得原问题的摄动解（近似解）。在摄动参数 $\epsilon$ 的影响下，流场速度势函数 $\varphi$ 可表示为参数 $\epsilon$ 的幂级数形式，即：

$$\varphi =\epsilon {\varphi }^{(1)}+{\epsilon }^2{\varphi }^{(2)}+\cdots +{\epsilon }^n{\varphi }^{(n)}+o({\epsilon }^n)\text{\hspace{1em}(5-1)}$$

式中，$n$ 为速度势的阶次，${\varphi }^{(n)}$ 表示第 $n$ 阶速度势；$\epsilon$ 为入射波的波陡即入射波波幅与波长之比。当 $n$ 足够大且 $\epsilon$ 足够小时，可认为式（5-1）与拉普拉斯方程的精确解足够接近。随着计算机与数值方法的发展，速度势函数的求解难度早已不受阶数 $n$ 的限制，$n$ 的取值仅与工程计算的需求精度有关。事实上，我们在正则摄动的做法中无须显式地定义 $\epsilon$，而只把 $\epsilon$ 看作是一个表征阶次的符号。类似地，自由面边界条件、物面边界条件等也可以展开为 $\epsilon$ 的幂级数。值得注意的是，对于确定的问题，入射波的波陡 $\epsilon$ 是已知量，式（5-1）中各阶速度势才是待求的未知量。

  大量研究与工程实践表明：高阶速度势（三阶以三阶以上）对浮体运动的影响比较小，对波浪荷载的贡献也不大。因此，在实际分析中可忽略高阶速度势的影响，速度势最高展开至二阶。在进行线性水动力分析时，速度势按一阶摄动展开，如式（5-2）。在进行非线性水动力分析时，速度势按二阶摄动展开，如式（5-3）。式（5-2）和式（5-3）分别被称为速度势的一阶近似解和二阶近似解。

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六、线性速度势的分解

  当浮体边摇荡边作等速移动时，流体运动的速度势 $\varphi (x,y,z,t)$ 可分解成是定常移动的兴波速度势 $\bar{\varphi }(x,y,z)$ 与不定常速度势 $\Phi (x,y,z,t)$ 之和，即有如下关系：

$$\varphi (x,y,z,t)=\bar{\varphi }(x,y,z)+\Phi (x,y,z,t)\text{\hspace{1em}(6-1)}$$

式中，$\bar{\varphi }(x,y,z)$ 是定常运动时的兴波速度势；$\Phi (x,y,z,t)$ 是速度势中的不定常部分，不定常速度势主要有：物体振荡引起的辐射势、入射波势和浮体存在对入射波的干扰。由此，场内流体速度势 $\varphi$ 的求解问题被分解为定常兴波问题与不定常速度势求解问题。在微幅波、微幅运动和定常兴波是小量的前提下，定常兴波速度势与不定常速度势不耦合，定常兴波问题与不定常速度势求解问题是完全独立的。定常兴波势是小量，这隐含着要求物体或者细长（包括窄或扁平），或者潜得深，或者前进速度是低速的。定常兴波为小量的极限情况即是无航速的情况。

  当波浪是微幅波、浮体的摇荡不大时，线性化的假设是可以接受的。这时，波浪与浮体相互作用的力学系统即可视作一个线性系统。在这一前提假设下，也就意味着自由面上的扰动是小量亦即波陡 $\epsilon$ 足够小，从而可以采用摄动法得到速度势的一阶近似解（$\varphi \approx \epsilon {\varphi }^{(1)}$）。对于线性系统，自由面边界条件、物面边界条件等均按一阶摄动展开，并可忽略非线性项。由此，原来复杂的非线性边界条件化为简单的线性边界条件，方程的求解难度大幅度降低。对于无航速物体，定常兴波速度势为 0 ，仅需考虑不定常速度势的求解。在线性理论范围内，不定常速度势的求解问题归结为不定常一阶速度势的定解问题，一阶速度势就是通常所谓的线性速度势。通常，线性速度势的求解采用格林函数法。在求解过程中，一些积分方程会通过离散化后化为代数方程求解。离散化的一种做法是将物面化成小块面元，设每块面元上分布着等强度的源，并在每一块面元上选一个控制点，在这些离散的控制点上满足边界条件。一旦控制点确定，便能容易确定场内各点的速度势（包括物面）。当面元数目足够大时，上述离散化方法能给出相当满意的结果。

  在线性化假定下，叠加原理成立。另一方面，从不定常一阶速度势的定解问题中也可以看出，拉普拉斯方程和边界条件都是线性的。由此，可对不定常一阶速度势（线性速度势）$\Phi (x,y,z,t)$ 进行分解，将其分解为三个速度势之和：

$$\Phi (x,y,z,t)={\Phi }_{\mathrm{I}}(x,y,z,t)+{\Phi }_{\mathrm{D}}(x,y,z,t)+{\Phi }_{\mathrm{R}}(x,y,z,t)\text{\hspace{1em}(6-2)}$$

其中，${\Phi }_{\mathrm{I}}$ 为入射波速度势，它表征入射波对整场速度势的贡献；${\Phi }_{\mathrm{D}}$ 为绕射势，它表征浮体的存在对流场的扰动；${\Phi }_{\mathrm{R}}$ 为辐射势，它表征浮体运动对流场扰动的贡献。显然，${\Phi }_{\mathrm{I}}$、${\Phi }_{\mathrm{D}}$ 和 ${\Phi }_{\mathrm{R}}$ 各自都满足拉普拉斯方程、自由面条件和底部条件。${\Phi }_{\mathrm{D}}$ 和 ${\Phi }_{\mathrm{R}}$ 还满足无限远处有外传波的辐射条件以及物面条件。对于 ${\Phi }_{\mathrm{I}}$ 来讲，我们一般取其为单一频率，单一方向的平面入射波速度势，它作为已知的输入给出，无所谓辐射条件与物面条件。由于浪问题中线性速度势的这一分解具有明显的有点和明确的物理意义，使得这种分解成为迄今为止求解物体摇芴运动时线性速度势问题的经典处理方法。值得指出的是，上述分解只有当定常运动兴波是小量时才能施行，若没有这一前提条件, 分解就有困难。

  一般，入射波浪是不规则的，随机的。根据傅里叶变换（Fourier Transform），不规则波可以分解成无穷多个单向单频的规则波的叠加。从而，在线性化的前提下，浮体运动的研究就在于探讨物体在规则波作用下的摇荡响应，然后利用频谱分析技术得到物体在不规则波作用下的运动统计特征量（线性频谱分析方法）。由此，将问题转化成物体对规则波扰动的响应来进行讨论。对于线性系统，当入射波是规则的（单向规则余弦波）即系统的输入是简谐的振荡，显然，系统的输出 (如浮体的受力、运动等等) 也必然是个简谐振荡量，当然两者的振荡相位可能有差异。作为相应的辐射问题，我们关注的重点应是物体在静水自由面上作简谐的强迫摇荡运动时所产生的速度势（简谐振荡是物体运动的一种基本形式）。

  线性速度势（不定常一阶速度势）可以分解为入射势 ${\Phi }_{\mathrm{I}}$、绕射势 ${\Phi }_{\mathrm{D}}$ 和辐射势 ${\Phi }_{\mathrm{R}}$，相应的定解问题分别被称为入射问题、绕射问题（diffraction problem）和辐射问题（radiation problem）。在这三个问题中，绕射问题以入射波的存在为前提，而入射波速度势是作为已知的输入给出的。于是，在线性理论范围内，不定常速度势（线性速度势）的定解问题最终归结为两个更基本的问题即辐射问题和绕射问题。在辐射问题中，只考虑浮体在静水中的强迫振荡，不计束波；在绕射问题中，则假定浮体处于平衡位置，没有摇荡运动，但有入射波作用其上。这两类流体动力与浮体的静水回复力、浮体摇荡的惯性力和外荷达到动力平衡，制约着浮体在波浪上的摇荡运动。另外，辐射问题与绕射问题是相互独立的。而且，它们在除了物面条件有所不同之处，其他一些边界条件和控制方程均相同。在线性理论中，两个问题结合在一起，可以解决自由浮体在规则波中的运动响应问题。此外，绕射问题本身亦有独立的意义，例如固定式采油平台或其他港工建筑物在波浪作用下的受力就属于这类绕射问题波浪力的精确预估对平台和港口建筑物的结构设计、强度校核和安全性都具有相当重要的意义。

  在线性化的前提下，研究浮体运动的重点在于探讨浮体在规则波（regular waves）作用下的摇荡响应（response）。通过频谱分析技术可得到浮体在不规则波（irregular waves）作用下的运动统计特征量。作为已知输入给出的 ${\Phi }_{\mathrm{I}}$，我们一般取其为单一频率，单一方向的平面入射波速度势。规则入射波的速度势由入射问题解出，对此波浪理论早已给出了丰富的解答。目前，被广泛应用的描述规则波浪的波浪理论主要有：微幅波理论（Airy 波理论）、斯托克斯（Stokes）波理论等等。

七、辐射问题与流体作用力

  在辐射问题中，我们研究的重点是无航速自由浮体在静水自由面上作简谐的强迫摇荡运动时所产生的速度势。一般而言，速度势的相位与扰动（现为浮体的摇荡运动）的相位是不同的。这是因为当有自由面存在时，外界扰动将在自由面上产生波浪，波浪的传播需要时间；当扰动的强度以某一简谐形式脉动时，扰动的影响不能在瞬息传遍整个流场，于是形成了场内各处流体运动与扰动之间的相位差。这与无限流场情况有着本质的差别，当物体在不可压缩流体的无限流场中运动时，局部扰动将瞬息间传遍流场，流体运动与扰动是同步的。在解决辐射问题时，隐含地认为运动已经持续了一个相当长的时间，由浮体摇荡初始动作引起的瞬态影响业已消失，场内的流体运动已达稳态（消除初始条件的影响）。

7.1 附加质量与加阻尼系数

  浮体在自由面上摇荡时受到流体的反作用力或力矩， 它们在各坐标轴上的分量可由流体压力在相应的坐标轴上的投影沿浮体的瞬时湿表面积分得到。若只计入流体动压力，由于浮体作微幅振荡运动，瞬时湿面积与浮体静止时的湿面积之差是 $\epsilon$ 的一阶小量，因此，流体动力只需将一阶压力沿平均湿表面积分即可。辐射问题中的流体动力的求解过程是：由辐射问题（拉普拉斯方程+边界条件）求解出辐射势 ${\Phi }_{\mathrm{R}}$,，代入伯努利方程计算出动压力 $p$，压力在浮体静止时的湿表面积分得到流体作用力 $F$。由此可推导出浮体在 $i$ 方向上运动时受到的流体反作用力在 $j$ 方向上的分量为：

$$F_j=-{\mu }_{ji}{\ddot{x}}_i-{\lambda }_{ji}{\dot{x}}_i\text{\hspace{1em}(7-1)}$$

式中，${\ddot{x}}_i$、${\dot{x}}_i$ 分别为浮体在 $i$ 方向上的加速度与速度。上式表明，作用在摇荡浮体上的广义力（流体动力或力矩）由两部分所组成，一部分与摇荡运动的加速度成比例，另一部分与摇荡运动的速度成比例。我们把前一部分力的比例系数 ${\mu }_{ji}$ 叫做附加质量（added mass），把后一部分力的比例系数 ${\lambda }_{ji}$ 叫阻尼系数（damping coefficient）。附加质量系数 ${\mu }_{ji}$ 和 辐射阻尼系数 ${\lambda }_{ji}$ 统称为水动力系数。

  在进行水动力计算时，为了简化计算，通常将浮体视作无作无弹性变形的理想刚体。由于空间刚体具有 6 个自由度，因此附加质量 ${\mu }_{ji}$ 和阻尼系数 ${\lambda }_{ji}$ 都可以组成组成一个 6×6 的矩阵。在数值计算中，水动力系数都是以 6×6 的矩阵形式给出，其中我们比较关注的是主对角线上的 6 个系数，其分别对应着浮体的六个自由度。水动力系数是频率的函数，它与结构外形（物面）、振动频率（浮体作强迫简谐振动的频率）和航速（航速影响速度势）有关，水动力系数是频率的函数。

  物体在自由表面附近作微幅振荡，有波浪向四外辐射，波浪带走的能量应由物体提供（能量耗散/阻尼）。附加质量与能量辐射无关，它是由于物体运动引起的周围流场中流体的惯性运动所致，当物体作简谐摇荡时，在半个加速周期中因物体运动而积聚在流体中的能量（指与辐射能量无关的那一部分能量）在接着而来的半个减速周期中又全部还给了物体。振荡物体向外输送的能量与阻尼系数有关，物体的动能主要消耗在波浪的扩散上。若物体因某一瞬时扰动而产生自由摇荡，则由于能量的消耗，摇荡逐渐衰减以至物体复归于静止。在这一意义上 ${\lambda }_{ji}$ 即被称作阻尼系数。在有自由面存在的流场中，附加质量与阻尼系数都是随振荡频率 $\omega$ 而变化的，因为势函数 ${\varphi }_j$ 须满足的自由面条件中含有参数因子 ${\omega }^2/g$ 。无论自由面存在与否，附加质量和阻尼系数对下标的对称性是都成立，即：

$${\mu }_{ji}={\mu }_{ij}{\lambda }_{ji}={\lambda }_{ij}\text{\hspace{1em}(7-2)}$$

  根据这一下标对称关系的存在，附加质量矩阵或阻尼矩阵的 36 个元素中只有 21 个可能是独立的。顺便要指出的是，这一关于下标的对称关系只在物体无前进速度时才成立，若物体有平均前进速度，这一对称关系总体来讲不再成立。最后指出一点，那就是虽然 ${\mu }_{ji}$、${\lambda }_{ji}$ 是两个不同的物理量，但却由统一的定义式联系着，它们分别是一个复数量的实部和虚部。它们两者之间存在着固定的关系，叫做克拉默-克郎尼格（Kramers-Kronig）关系：

$$\begin{array}{l}{\mu }_{ji}(\omega )-{\mu }_{ji}(\infty )=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\infty }{\lambda }_{ji}(\alpha )\frac{\mathrm{d}\alpha }{{\alpha }^2-{\omega }^2}\\ {\lambda }_{ji}(\omega )=-\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\infty }\left[{\mu }_{ji}(\alpha )-{\mu }_{ji}(\infty )\right]\frac{\mathrm{d}a}{{\alpha }^2-{\omega }^2}\end{array}\}\text{\hspace{1em}(7-3)}$$

如果知道 ${\lambda }_{ji}(\omega )$ 或 ${\mu }_{ji}(\omega )-{\mu }_{ji}(\infty )$ 二者之一，就可用这组关系去计算另一个，其中积分取柯西主值。

八、绕射问题与波浪力

  在绕射问题中，物体或者假定是固定不动的，或者作等速直线移动但无摇荡，传来的波浪遇到障碍物，将产生复杂的绕射（wave diffraction）。我们关注的重点仍然是规则波作用下的绕射问题。实际上，考虑了绕射影响后的入射波系对无摇荡物体的作用力即是促使物体摇荡的外加激励力。在线性理论中，它与物体在静水中摇荡的辐射理论结合在一起，可以解决自由浮体在规则波中的运动响应问题。此外，绕射问题本身亦有独立的意义，例如固定式采油平台或其他港工建筑物在波浪作用下的受力就属于这类绕射问题波浪力的精确预估对平台和港口建筑物的结构设计、强度校核和安全性都具有相当重要的意义。

8.1 入射波速度势

  绕射问题以入射波的存在为前提，入射波一般作为已知的输入给出，它是由入射问题求解出来的。无疑地，对于入射波来说其速度势 ${\Phi }_{\mathrm{I}}$ 满足拉普拉斯方程、自由面条件、池底上的固壁条件等。当波陡 $\epsilon$ 不大时，可采用摄动方法（小参数展开法）获得速度势、自由面（波面）、波速的各阶近似。第一阶近似就是大家所熟知的艾里波（Ariy），高阶近似就叫作斯托克斯波（Stokes）。艾里波是斯托克斯的一阶近似解，它是正弦前进波。斯托克斯波是一个规则的无旋前进波，这种无旋的前进波在许多工程领域，如海岸工程、离岸工程、船舶流体力学、明渠流动中都有着重要意义。斯托克斯波的适用范围是：波幅与水深之比要远小于波长与水深之比的平方。目前，物体在波浪上运动问题的研究中，非线性影响一般最多考虑到二阶，但在海洋工程计算细长杆件的受力时，往往要用斯托克斯五阶波的结果（准确到五阶小量、有限水深斯托克斯波）。（微幅波假定）

8.2 绕射问题

  绕射问题中不考虑物体的摇荡运动，只计入波浪与固定的或以定常速度移动的物体之间的流体动力干扰。如果物体有定常移动速度而无振荡，则物体将产生移动兴波。整个流场中的总速度势 $\varphi$ 可表示为：

$$\varphi (x,y,z,t)=\bar{\varphi }(x,y,z)+\Phi (x,y,z,t)=\bar{\varphi }+{\Phi }_{\mathrm{I}}+{\Phi }_{\mathrm{D}}\text{\hspace{1em}(8-1)}$$

其中，${\Phi }_{\mathrm{I}}$ 为入射波速度势；${\Phi }_{\mathrm{D}}$ 为绕射势。这两者之和构成了场内总的不定常速度势部分 $\Phi$，$\Phi$ 亦常被称作散射势（scattering potential）。如果对物体形状加以限制，要求它的定常兴波势 $\bar{\varphi }$ 是小量（$\epsilon$ 一阶量级），则在一阶线性近似中，定常势 $\bar{\varphi }$ 与散射势 $\Phi$ 的定解问题可截然分开，即认为两者间互不影响。由于绕射势 ${\Phi }_{\mathrm{D}}$ 的定解问题与辐射势的定解问题类似，差别仅体现在物面条件上，故可采用相同的方法求解（格林函数法）。

8.3 一阶波浪力

  由绕射问题可求得场内绕射势 ${\Phi }_{\mathrm{D}}$，再结合作为已知输入给出的入射波速度势 ${\Phi }_{\mathrm{I}}$，便可得到流场的散射势 $\Phi$（$\Phi$ = ${\Phi }_{\mathrm{I}}$ + ${\Phi }_{\mathrm{I}}$）。与辐射问题中流体作用力的求解过程类似，限于一阶近似，通过散射势可计算出物体在 $j$ 方向上遭受的一阶波浪力为 $F_{\mathrm{w}\mathrm{j}}$。由于散射势由入射势和辐射势组成，相应地，一阶波浪力也可分解为两个部分：一是由入射势产生的入射波浪力 $F_{\mathrm{w}j}^k$，称之为 Froude-Kriloff 力（简称 F-K 力）；另一是由绕射势产生的绕射波浪力 $F_{\mathrm{w}j}^d$，称之为 Diffraction 力（diffraction force）。

$$F_{\mathrm{w}\mathrm{j}}=F_{\mathrm{w}j}^k+F_{\mathrm{w}j}^d\text{\hspace{1em}(8-2)}$$

  一阶波浪力幅值较大，与波高成线性比例关系，为总波浪力的主要部分，它是浮式结构承受的浪频范围内的荷载。例如，海浪的频率范围为 1 ~ 4 Hz，那么一阶波浪力的频率也在 1 ~ 4 Hz范围内。显然，1 Hz 以下、4 Hz 以上的波浪力由二阶波浪力提供。

九、二阶波浪力

  随着工程上对海洋平台受力或运动预报要求的提高，上述线性化模型已不能满足要求。许多观察表明，当入射波不规则时，浮体承受的波浪力中将包含超低频成分的波浪力（远低于不规则波的特征频率）。显然，这一现象的产生线性理论无法给出解释。实际上，物体在波浪上的运动本质上是非线性的，所谓的线性化理论只不过是这一非线性问题摄动展开后的一阶近似。可以预料，如果精确到更高的阶次，所得的解中应能在一定程度上反映出运动的非线性。大量研究与工程实践表明：二阶以上的高阶速度势对浮体运动的影响比较小，对波浪荷载的贡献也不大。因此，精确到二阶的结果就足以满足工程上对于非线性现象描述的要求。

  我们仍以摄动理论来处理物体在波浪中运动这一本质上的非线性流体动力问题，只不过精确度比前述一阶问题（线性问题）高一个量阶而已。因此，尽管二阶理论能反映出非线性的某些现象，但它能处理的只是弱非线性问题。换句话说，仍限于处理物体在微幅波中的微幅摇荡问题。这里我们仅考虑物体没有航速的情况，设场内流体速度势可展成 $\epsilon$ 的幂级数，即：

$$\Phi \left(x,y,z,t\right)=\epsilon {\Phi }^{(1)}\left(x,y,z,t\right)+{\epsilon }^2{\Phi }^{(2)}\left(x,y,z,t\right)+O\left({\epsilon }^3\right)\text{\hspace{1em}(9-1)}$$

式中，$\epsilon$ 为一小参数，表征微幅波或微幅运动的量级；${\Phi }^{(1)}$ 和 ${\Phi }^{(2)}$ 分别为一阶和二阶速度势。事实上，一阶速度势中包括一阶入射波速度势 ${\Phi }_I^{(1)}$、一阶绕射势 ${\Phi }_D^{(1)}$ 和一阶辐射速度势 ${\Phi }_R^{(1)}$，即：

$${\Phi }^{(1)}={\Phi }_I^{(1)}+{\Phi }_D^{(1)}+{\Phi }_R^{(1)}\text{\hspace{1em}(9-2)}$$

它们的定解问题组成和求解如上所述。有了一阶势的解之后，二阶势的定解问题是确定的。各物理量精确到二阶，可算得物体受到的流体作用力，它可表示为：

$$\vec{F}={\vec{F}}^{(0)}+\epsilon {\vec{F}}^{(1)}+{\epsilon }^2{\vec{F}}^{(2)}\text{\hspace{1em}(9-3)}$$

式中，${\vec{F}}^{(0)}$ 为静水浮力，它与物体的重力平衡；${\vec{F}}^{(1)}$ 为一阶力，其中包括了一阶波浪干扰力、因运动产生的静水恢复力和一阶运动引起的流体作用力；${\vec{F}}^{(2)}$ 为二阶波浪干扰力，这里我们所说的二阶波浪力不包括二阶运动产生的流体作用力。值得注意的是，当我们考虑二阶力时，只计入物体的一阶运动，未考虑物体的二阶运动量。所以，二阶力指的是激发物体产生二阶运动的二阶波浪干扰力。与一阶问题类似，物体因二阶运动而遭受的流体作用力事实上将以二阶运动附加质量和阻尼力的形式出现。二阶力中包含有六种分量，或谓六个影响因素：（1）相对波高的贡献；（2）由流体速度平方项引起的压力变化；（3）一阶压力梯度与一阶运动的耦合；（4）一阶作用力的转动效应；（5）一阶运动间的耦合影响；（6）二阶速度势的影响。由于这六个分量中包含了二阶速度势 ${\Phi }^{(2)}$ 产生的压力场的贡献，因此需要求解出二阶速度势 ${\Phi }^{(2)}$。二阶速度势需满足拉普拉斯方程、自由面条件、物面条件、池底条件和辐射条件，由此确定了二阶速度势的定解问题。

  相对一阶波浪力而言，二阶波浪力的幅值较小，与波高的平方成线性比例关系，为总波浪力的次要部分。当入射波为规则入射波（单一频率）时，二阶力包含定常二阶力和频率为入射波两倍的高频二阶力。通常，不规则入射波可记为各种频率规则波的线性迭加。当入射波为不规则入射波时，除了有定常力和二倍频力外，还有各成分波频率之差及之和产生的低频分量和高频分量。简单而不失一般性，我们假设不规则的来波中只含频率为 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$ （${\omega }_1>{\omega }_2$）两个单频波。这时二阶波浪力中除了定常力外，还包含高频力和低频力。高频分量力的频率为：$2{\omega }_1$、$2{\omega }_2$ 和 ${\omega }_1+{\omega }_2$（二倍频力与和频力）；低频分量力的频率为：${\omega }_1-{\omega }_2$。所谓二阶波浪力就是上述这些波浪力的总称。定常力是不随时间变化的，如果我们只求定常波浪漂移力（无论是否处于规则波中），只需要把一阶势和一阶运动求出即可。低频分量即所谓的慢漂力，低频波浪漂移力的频率有可能与系统较低的水平运动固有频率相近而产生共振，从而产生相当大的水平运动，在系泊系统中引起相当大的附加应力。对初稳心高度较低、水线面较小的半潜式平台，定常横倾力矩可引起较大的固定倾斜，从而直接影响平台的稳性。高频波浪力对结构的弹振和疲劳分析等都具有相当的重要性。

十、尾声

  浮体在波浪中的运动本质上是一个波-物相互作用的流体动力学问题，其中最困难的之一是浮体运动时所遭受的流体作用力的确定。从原则上讲，浮体的受力和运动要同时求解，两类问题是互相㻦合的，求解难度极大。为了简化计算，我们假设：流体是无旋的、均匀的、不可压缩的理想流体，浮体是无弹性变形的理想刚体。对于无旋流动的流场，速度势函数 $\varphi$存在，这也就意味着流场内任意一点处的流速 $v$ 可由这个标量函数 $\varphi$ 的偏导数表示。势函数存在的流动称为有势流动，简称势流（Potential Flow），无旋流动必是有势流动。基于此，可对流体力学的三大控制方程进行简化，其中，连续性方程简化为拉普拉斯方程，动量方程简化为拉格朗日积分式（伯努利方程）。流场的速度势 $\varphi$ 由拉普拉斯方程解出，将 $\varphi$ 代入到伯努利方程可确定流场的压力分布 $p$，压力函数在物体瞬时湿表面上积分就得到了流体作用力。于是，浮体在波浪上运动的流体动力学问题关键在于求解流场中的速度势。（控制方程的简化）

  在无旋条件下，制约均匀、不可压缩理想流体流动的基本方程就是拉普拉斯（Laplace）方程，拉普拉斯方程的解是速度势函数 $\varphi$。实际问题是千变万化的，它们的差别体现在定解条件上。只有在给定了合适的定解条件后，拉普拉斯方程的解才是唯一确定的。定解条件包括边界条件和初始条件，一般我们认为问题的起始时刻，系统已经进入稳态振荡，这时问题与初始条件无关。浮体运动理论中经常遇到的四类边界条件主要有：自由面条件、物面条件、池底条件和辐射条件。由此，速度势 $\varphi$ 的求解问题归结为四类边界条件下的拉普拉斯方程的定解问题。通常，采用格林函数法来处理速度势的求解问题（离散化方法/面元法）。（拉普拉斯方程的边值问题）

  拉普拉斯方程是线性的，自由面边界条件等是非线性的，非线性的边界条件给线性方程的求解带来了极大的困难。通常，我们可以采用摄动法解决这一问题。当浮体边摇荡边作等速移动时，场内流体速度势 $\varphi$ 的求解问题可分解为两个问题，即：定常兴波问题与不定常速度势求解问题。在微幅波、微幅运动和定常兴波是小量的前提下，定常兴波问题与不定常速度势求解问题是完全独立的。定常兴波是小量的极限情况是无航速的情况，这时定常兴波速度势 $\bar{\varphi }$ 为 0，问题的重点归结为不定常速度势 $\Phi$ 的求解。（不定常速度势）

  通常，浮体在波浪中的运动问题采用摄动理论（正则摄动法）处理，在摄动参数 $\epsilon$ 的影响下，流场速度势函数 $\varphi$ 可表示为参数 $\epsilon$ 的幂级数（渐近展开式）形式。大量研究与工程实践也表明：高阶速度势对浮体运动的影响比较小，对波浪荷载的贡献也不大。因此，在实际分析中速度势最高展开至二阶。当采用线性理论分析水动作用力时，速度势按一阶摄动展开；当采用非线性理论分析水动作用力时，速度势按二阶摄动展。无论是线性问题还是非线性问题，当采用摄动理论（正则摄动法）处理时，就隐含着要求摄动参数 $\epsilon$ 足够小，这就意味着我们所考虑的情况只能物体在微幅波中的微幅摇荡（微幅波与微幅运动）。因此，势流理论所处理的非线性问题是弱非线性问题。（速度势的摄动展开）

  在线性问题中，无航速自由浮体的摇荡问题归结为不定常一阶速度势（线性速度势）的求解问题。当波浪是微幅波、浮体的摇荡不大时，线性化的假设是可以接受的，叠加原理成立。线性速度势（不定常一阶速度势）可以分解为入射势 ${\Phi }_{\mathrm{I}}$、绕射势 ${\Phi }_{\mathrm{D}}$ 和辐射势 ${\Phi }_{\mathrm{R}}$，相应的定解问题分别被称为入射问题、绕射问题和辐射问题。在这三个问题中，绕射问题以入射波的存在为前提，而入射波速度势是作为已知的输入给出的。于是，在线性理论范围内，不定常速度势（线性速度势）的定解问题最终归结为两个更基本的问题即辐射问题和绕射问题，这两个问题的求解是相互独立的。在辐射问题中，只考虑浮体在静水中的强迫振荡；在绕射问题中，假定浮体没有摇荡运动即固定不动，但有入射波作用其上。这两类流体动力就是我们重点求解的水动作用力，前者对应（一阶）流体反作用力，后者对应（一阶）波浪力。在非线性问题中，速度势等按二阶摄动展开，由此可求得二阶波浪力。综上，物体在波浪中摇荡时，承受的流体动作用力主要有流体反作用力和波浪力，其中，（一阶）流体反作用力由辐射问题解出，一阶波浪力由绕射问题解出，二阶波浪力由非线性水动力问题解出。

  在辐射问题中，我们关注的重点是浮体在静水中的规则强迫振荡。这个过程包含了两种效应： 一是结构的强迫运动带动了流体的振荡，流体反作用于结构，在结构表面形成压力振荡。这种效应和结构的运动加速度有关，称作附加质量；二是强迫运动产生了以结构为中心向外部扩散的波浪。从能量的角度来看，结构的动能传递至流体中，形成波浪向外辐射，最终把能量完全耗散。 这种效应和结构的运动速度相关，为此称作辐射阻尼效应。 附加质量指的是与浮体一起振动的流体的质量，它与浮体的质量为同一数量级（相当于增大了浮体的质量）。附加质量、辐射阻尼均与流体的密度、浮体的湿表面形状和强迫振动的频率有关。在绕射问题中，浮体是固定不动的，我们关注的重点是它在规则入射波作用下承受的波浪力（一阶波浪力）。入射波速度势作为已知的输入给出，它是由波浪理论确定的。在此基础上，可求得绕射势，进而得到一阶波浪力。一阶波浪力由两部分构成：一是入射势产生的入射波浪力，称之为 Froude-Kriloff 力（简称 F-K 力）；另一种是绕射现象产生的绕射波浪力，称之为 Diffraction 力。（一阶水动力：辐射力、入射力和绕射力）

  由线性化模型计算出的一阶波浪力是浪频范围内的波浪力，许多观察表明，波浪力中还存在浪频范围以外的低频成分和高频成分。显然，这一现象的产生线性理论无法给出解释（一阶波浪力与浪频一致）。因此，需要采用二阶理论进行波浪力的分析即计算出二阶波浪力。当入射波是单一频率的规则波时，二阶波浪力由平均波浪力和倍频波浪力组成；当入射波是频率成分较多的随机波时，二阶波浪力则由平均波浪力、差频波浪力、和频波浪力和倍频波浪力组成。平均波浪力又称定常漂移力，差频力又叫慢漂力（低频力），和频力和倍频力又统称为高频波浪。低频波浪力（慢漂力）的频率可能与系统较低的水平运动固有频率相近而产生共振，而高频波浪力对结构的弹振和疲劳分析等都具有相当的重要性。（二阶波浪力：定常力、低频力和高频力）

  综上所述，海洋结构物承受的波浪力主要由一阶波浪力、二阶波浪力和更高阶的波浪力构成。通常，更高阶的波浪力占比很小，可忽略不计。当采用线性水动力理论分析时，速度势按一阶摄动展，代入势流理论有关方程，求解便可得到结构承受的波浪力，这个波浪力被称作一阶波浪荷载。当采用非线性水动力理论分析时，速度势可按二阶摄动展，由此算得的波浪力除一阶波浪荷载外，还包括二阶波浪荷载。一阶波浪力幅值较大，与波高成线性比例关系，为总波浪力的主要部分，它是物体承受的浪频范围以内的荷载。二阶波浪力的幅值较小，与波高的平方成线性比例关系，为总波浪力的次要部分，它是物体承受的浪频范围以外的荷载。一阶波浪力对浮体的瞬时运动具有重要影响，而二阶波浪力的存在使浮体产生周期较长的漂移运动，漂移运动的频率远低于波浪的频率。一阶、二阶波浪力与波浪的幅值、频率间的比例关系可分别被定义为一阶波浪力的传递函数和二阶波浪力的传递函数。

表 2 流体动作用力的组成

十一、参考文献

[1] 朱仁传, 缪国平. 船舶在波浪上的运动理论[M]. 上海交通大学出版社.

[2] 关于风机 叶片/荷载/控制 方面的介绍请访问：https://www.zhihu.com/column/c_1485646874003058688.

[3] 关于风机 有限元分析 方面的介绍请访问：https://blog.csdn.net/shengyutou.