堆一定是完全二叉树_“堆”的 Python 实现与应用总结

给定一个长度为n的无序数组，再给你任意一个数字k，请找出这个数组中和k最近的m个数(这个k可以不出现在这个数组中)

题目其实很简单，想了一会儿给出了一个方案如下:

我的思路

首先开辟一个新的数组D1，代表这个数组与k的距离，用求绝对值的方式来把距离求出来(第一个元素是距离，第二个元素是本身)，然后再进行快排，然后取D1中前m个元素即可，代码实现如下:

可以想到这个算法的复杂度是n+nlogn，这个方法可以是可以，但明显不是最好的解决方法，几经面试官提示后，由于之前只是看人用过，但没有系统地学过 堆，最后没有想到用堆来解决这个问题，知耻后勇吧，回去以后立刻仔细看了一遍这个方面的知识。

堆是什么

堆是一种完全二叉树，复习一下完全二叉树的定义，完全二叉树的形式是指除了最后一层之外，其他所有层的结点都是满的，而最后一层的所有结点都靠左边。教材上定义如下:

若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

如下图所示，就是一种典型的完全二叉树:

而最小堆要求，对于任意一个父结点来说，其子结点的值都大于这个父节点，同理，最大堆就是说，其子节点的值都小于这个父节点。很显然上图不是一个最小堆，下图才是:

堆的实现

之前说到，堆是一种完全二叉树，但是否就意味着我们真的要用树来表示它呢？答案是否定的，因为完全二叉树有其非常卓越的性质：对于任意一个父节点的序号n来说(这里n从0算)，它的子节点的序号一定是2n+1,2n+2，因此我们可以直接用数组来表示一个堆。所以对于上图来说，我们可以用[0,1,3,2,4,6,7,8,9,5,10]来表示这个堆。

另外，对堆的所有操作都一定要保持操作完以后，他仍然是个堆，基于这个原则，我们来实现堆的操作。我们如下初始化一个堆:

1.插入Insert(push)

下面我画了一个示意图，当一个新元素想要插入这个堆的时候，我们首先把他放到这个堆的末尾。然后依据堆的特性，对它的位置进行调整，由于要保持父结点的值要永远少于其子节点的值，而2的直接父节点6大于了它，所以要把他们两的位置对换，对换完毕后，再检查这个堆的状态，发现其父节点3仍然大于自己，所以继续往上和3对换，结束后，和0比较，0不大于自己，所以停留在原地不动，插入结束。

简单来说，插入一个结点就是将该元素插入到堆的尾部，然后不断上浮调整位置，直至满足堆的条件。

代码实现如下，push的话参数index都是len(self.array)

2.删除pop

如下图所示，删除一般指的都是删除堆顶元素，在堆顶元素被拿掉后，将末尾元素置换上来，然后进行下沉操作，由于这是最小堆，堆顶一定是最小元素，首先6大于左结点1，需要下沉, 下沉完以后继续和它子节点比较，发现左结点2小于自身，继续下沉，最后8 和 9都比6大，停止下沉。总结来说，意思就是删除堆顶元素后，用末尾元素补上，然后不断下沉，直至满足堆的条件。

代码如下，首先要定义sink方法，然后在此基础上实现pop:

3. 建堆

建堆的过程也非常简单，将每个父节点都进行下沉操作，即可完成建堆。所以我们的Heap类就可以变成:

使用堆的思路

上面已经说完了堆的基本操作，下面讲一下堆是如何联系到这题的，简单来说，如果用堆，我们可以直接维持一个长度为m的最大堆，然后对这个长度为n的列表li进行遍历，每次遍历都把这个元素以及这个元素与k的距离组成的元祖塞到这个堆里去，当这个堆的长度大于m时，即pop出最大的元素(距离最远的元素),也就是说这个最大堆保留的永远都是与k最近的m个元素。由于删除与插入的复杂度都是logm，所以最终这个算法的复杂度是nlogm。注意由于m是肯定是小于n的，所以这个算法肯定比之前排序算法快，完整代码如下:

堆的其他应用

看完堆以后，突然发现以前其实用过堆，只是当时调用的是Python优先级队列PriorityQueue那个库，而优先级队列的实现就是用堆来实现的，而优先级队列是A搜索的基础(所以以后做作业还是少调现成的库，不然A搜索实现完连它底层是堆都不知道)。

除此之外，堆还可以用来作为排序，思路是每次都把堆顶的元素和堆尾的元素交换，然后把除了堆尾的那个元素组成的堆进行堆化(就是把堆顶的元素进行下沉)，不断重复直至堆为空为止。实现代码如下: