2024美赛数学建模浅析_七鳃鳗的自然生长率

问题A（MCM）：资源可用性和性别比例

背景：

虽然一些动物物种存在于通常的雄性或雌性之外，但大多数物种基本上是雄性或雌性。虽然许多物种在出生时表现出1：1的性别比，但其他物种的性别比却不均匀。这就是所谓的适应性性别比例变异。例如，美洲短吻鳄孵化卵的巢的温度会影响出生时的性别比例。

七鳃鳗的作用是复杂的。在一些湖泊栖息地，七鳃鳗被视为对生态系统有重大影响的寄生虫，而七鳃鳗也是世界上一些地区的食物来源，如斯堪的纳维亚、波罗的海和北美西北太平洋的一些土著民族。

七鳃鳗的性别比例可以根据外部环境而变化。海七鳃鳗变成雄性或雌性取决于它们在幼虫阶段生长的速度。这些幼虫的生长率受到食物供应的影响。在食物供应量低的环境中，生长率会较低，男性的比例可以达到大约78%。在食物更容易获得的环境中，观察到雄性的百分比约为人口的56%。

我们关注的是性别比例及其对当地条件的依赖性问题，特别是对海七鳃鳗。海七鳃鳗生活在湖泊或海洋栖息地，并迁移到河流产卵。这项任务是研究一个物种根据资源的可获得性改变其性别比例的能力的利弊。您的团队应该开发并检查一个模型，以便深入了解生态系统中的交互结果。

问题：

1. 当七鳃鳗的数量可以改变其性别比例时，对更大的生态系统有什么影响？
2. 七鳃鳗种群的优点和缺点是什么？
3. 七鳃鳗性别比例的变化对生态系统的稳定性有何影响？
4. 七鳃鳗种群性别比例可变的生态系统能否为生态系统中的其他物种（例如寄生虫）提供优势？

要求：

您的PDF解决方案总页数不超过 25 页，应包括：一页摘要表、目录、您的完整解决方案、参考文献列表、AI使用报告（如果使用，则不计入25页限制）

术语表：

七鳃鳗：七鳃鳗（有时不准确地称为七鳃鳗）是一种古老的无颌鱼类，属于 Petromyzontiformes目。成年七鳃鳗的特征是有齿、漏斗状的吸吮嘴。七鳃鳗主要生活在沿海和淡水水域，在大多数温带地区都有发现。

赛题分析：A题属于美赛MCM中的老牌连续型赛题，本次美赛A题主要是生物数学在建模中的应用，涉及到种群比例对生态系统稳定性所造成的影响，主要用到的数学方法为微分方程，需要查阅一定的文献和数据后进行建模模拟与分析，对大家的数学功底要求较高，这里不推荐非数学专业的同学选择A题。选A题的同学需要注意种群性别比例和外部环境（如天气、水文、食物供应）之间的联系，进而建立微分方程的种群模型，这里学长后续会提供一定的参考文献，但不作为主要的助攻赛题。
注意：今年美赛额外加了对于AI辅助建模的相关要求，大家使用Chatgpt辅助建模时一定要在文章最后加入使用说明！

问题B（MCM）：搜寻潜水器

背景：

希腊的海上巡游迷你潜艇公司（MCMS）制造能够将人类运送到海洋最深处的潜水器。潜水器被移动到位置并从主船上解开束缚后部署。MCMS现在希望使用他们的潜水器带领游客探索爱奥尼亚海底的沉船冒险。然而，在他们能够做到这一点之前，他们需要通过开发安全程序以防潜水器与主船失去通信和可能的机械故障包括潜水器推进力丧失的情况，来赢得监管机构的批准。特别是，他们希望你开发一个模型来预测潜水器随时间的位置。不同于陆地上或海面上的典型搜索与救援，有缺陷的潜水器可能会发现自己位于海底或在水下的某个中性浮力点。它的位置可能进一步受到海流、海水中不同密度和/或海底地理的影响。

问题：

1. 定位-开发一个或多个模型预测潜水器随时间的位置。

1. 这些预测有哪些不确定性？
2. 潜水器在事故发生前可以定期向主船发送哪些信息以减少这些不确定性？潜水器需要哪些设备才能做到这一点？

1. 准备-如果需要，你会推荐公司在主船上携带哪些额外的搜索设备？你可以考虑不同类型的设备，但也必须考虑这些设备的可用性、维护、准备和使用成本。如果需要，救援船需要带来什么额外的设备以协助？
2. 搜索-开发一个模型，使用你的定位模型的信息来推荐初始部署点和搜索模式，以尽量减少定位丢失潜水器的时间。确定随时间和累积搜索结果找到潜水器的概率。
3. 推断-你的模型如何扩展以考虑其他旅游目的地，如加勒比海？当多个潜水器在同一大致区域移动时，你的模型将如何改变？

要求：

准备一份不超过25页的报告，提供你的计划细节。包括一份两页的备忘录，寄给希腊政府，以帮助赢得批准。

你的PDF解决方案不得超过总共25页，应包括：

一页摘要。

目录。

你的完整解决方案。

参考文献列表。

AI使用报告（如果使用不计入25页限制内）。

赛题分析：B题属于美赛MCM中的离散型赛题，本次美赛B题主要是考虑潜水器位置预测与搜索定位优化，和前两年美赛的无人机赛题比较像，只不过这次是在海底。因此本赛题对建立非线性规划模型和求解有较高要求，同时还需要对潜水器的搜索进行一定的数据可视化，对于非数学专业的同学难度较高，因此这里学长后续会提供一定的参考文献，但不作为主要的助攻赛题。

问题C（MCM）：网球运动中的势头

背景：

2023年温布尔顿网球公开赛男子单打决赛中，20岁的西班牙新星卡洛斯-阿尔卡拉斯击败了36岁的诺瓦克：德约科维奇。这是德约科维奇自2013年以来在温布尔顿的首次失利，结束了这位网球史上最伟大球员之一在大满贯赛事中的非凡成就。比赛本身是一场激烈的战斗。德约科维奇在第一盘以6-1轻松占据上风，但第二盘却紧张不已，最终阿尔卡拉斯以7-6（抢七胜）赢得胜利。第三盘阿尔卡拉斯以6-1轻松取胜，第四盘虽然—开始阿尔卡拉斯似乎完全掌控比赛，但德约科维奇又完全控制了局面，以6-3赢得该盘。最终阿尔卡拉斯在第五盘以6-4获胜。

这场比赛的数据在提供的数据集中，“match_id”为“2023-wimbledon-1701”。你可以使用“set_no”列等于1来查看德约科维奇占优势的第一盘的所有得分。这场比赛的惊人转折，有时是许多分数甚至是局数的变化，通常被归因于“势头”。势头在体育中被定义为一连串事件或运动获得的力量或强度，但很难衡量这种现象，也不容易明确比赛中的各种事件如何创造或改变势头

在网球运动中，“势头“通常指的是比赛中因一系列事件（如连续得分）而形成的动力或趋势，这可能对比赛结果产生重要影响。球员或团队在获得势头后，通常会表现出更高的士气和信心，可能更容易连续赢得后续的分数或局数。然而，势头的存在和其对比赛结果的实际影响很难量化，因为它涉及到许多主观和心理因素。

问题：

从第二轮后开始，为2023年温布尔登男子单打比赛的每一分提供了数据。你可以选择包括额外的选手信息或其他数据，但你必须完整地记录来源。使用数据来：

1. 开发一个模型，捕捉比赛中随着得分变化的流程，并将其应用到一场或多场比赛中。你的模型应识别出在比赛中的某个特定时间哪位球员表现更好，以及表现的优势程度。提供一个基于你的模型的可视化，以展示比赛流程。注意：在网球比赛中，发球方赢得分数/局的概率较高。这一点可以纳入你的模型。
2. 一位网球教练怀疑“势头”在比赛中起到的作用。相反，他假设比赛中的转折和某一位球员的连胜是随机的。使用你的模型/指标来评估这个说法。
3. 教练希望了解是否存在指标，能帮助预测比赛流程何时会从偏向一位球员转变为偏向另一位。

1. 使用至少一场比赛提供的数据，开发一个模型来预测比赛中的这些转折。哪些因素似乎最相关（如果有的话）？
2. 考虑到过去比赛中“势头”的变化，你如何建议球员准备与不同对手的新比赛？

1. 在一场或多场其他比赛上测试你开发的模型。模型预测比赛中转折的准确性如何？如果模型某些时候表现不佳，你能识别出未来模型中可能需要包含的任何因素吗？你的模型对其他比赛（如女子比赛）、不同类型的锦标赛、不同的场地表面以及其他运动（如乒乓球）有多大的普适性？
2. 产生一份不超过25页的报告，包括你的发现，并包括一份一到两页的备忘录，总结你的结果并为教练提供关于“势头”的作用以及如何准备球员应对影响比赛流程的事件的建议。

你的PDF解决方案不得超过总共25页，应包括：

一页摘要。

目录。

你的完整解决方案。

一到两页的备忘录。

参考文献列表。

AI使用报告（如果使用不计入25页限制内）。

提供的文件：

Wimbledon_featured_matches.csv – 2023年温布尔登男子单打比赛的数据集，从第二轮后开始。

data_dictionary.csv – 数据集的描述。

data_examples – 帮助理解提供的数据的例子。

术语表：

大满贯：网球中的大满贯是指在一年内在同一单项赛事中赢得所有四个主要锦标赛的成就。四大满贯锦标赛是澳大利亚公开赛、法国公开赛、温布尔登和美国公开赛，每个锦标赛持续两周。

赛题分析：C题属于美赛MCM中的大数据赛题，本次美赛C题主要是结合网球运动背景的高维数据分析题，相关数据是现成的，但比赛的难点在于对网球规则的理解，进而利用统计相关模型进行分析。解决本题主要考虑：

1.数据收集与预处理：整理比赛中每个得分的数据，包括发球方、得分情况等。这里需要对数据进行描述性统计分析，处理缺失值和异常值后进行初步的可视化分析。

2.势头定义与量化：确定如何量化势头，可能包括连续得分、破发等指标。这里可以采用熵权法和层次分析法相结合的改进模型，进行量化评价。

3.统计分析：使用统计方法分析势头与比赛结果之间的关系。这里可以采用统计相关性分析方法，包括简单的皮尔逊相关系数分析，以及多元统计中的典型相关分析等方法，还可以利用线性回归中的回归系数进行比较。

4. 模型建立：基于历史数据，使用机器学习或其他统计模型来预测比赛中的势头变化。这部分针对分类变量可以采用logit回归，xgboost，lightGBM等方法进行交叉验证，通过比较ROC曲线、混淆矩阵图评估机器学习的预测效果。

5. 验证与调整：使用新的比赛数据测试模型的准确性，并根据结果调整模型。这里可以比较开发模型在新数据集下的预测效果，并对机器学习模型参数进行调整。

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