数学概率之z=x+y和z=x-y和z=x/y的分布_z=x+y的概率密度函数

作者：你好赵伟 | 2024-02-28 23:59:11

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z=x+y的概率密度函数

Z=X+Y 的分布

设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y的分布函数为：
在这里插入图片描述
故Z=X+Y的概率密度为：

由X，Y的对等性， $f_{Z}(z)$ 又可写成

卷积公式：

如果X和Y相互独立时，Z=X+Y的密度函数公式称为卷积公式即：

$f_{Z}(z)＝\int^{+\infty}_{-\infty}f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy=\int^{+\infty}_{-\infty}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx$

例题

在这里插入图片描述

Z=X-Y 的分布

假如x,y都是U(0,1)均匀分布，求z=x-y的分布
概率密度函数不再是均匀分布，会是三角形或者梯形
在这里插入图片描述
$f (z) = z, i f - 1 < z < 0; f (z) = 1 - z, i f 0 < z < 1$
两个均匀分布相加减，概率密度曲线是梯形/三角形；

Z=Y/X 的分布

比如两个相互独立的标准正态分布随机变量的商的分布，实际是位置参数为0、尺度参数为1的柯西分布
在这里插入图片描述

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