三元组加强版_对于一个三元组 (x,y,z),如果满足 ax+az=ay,并且 x 是 y 的祖先, y 是 z

Problem

题目描述

给定两个整数 n,m 问有多少三元组 (x,y,z) 满足：

• 0≤x,y,z≤n
• x+y+z=m

输入格式

一行给出两个整数 n,m 。

输出格式

一个整数，代表答案。

Example&Prompt

输入输出样例

样例1：
输入：2 2    输出：6
样例2：
输入：3 15  输出：1

数据范围

对于20%的数据，满足1≤n≤100。
对于50%的数据，满足1≤n≤1000。
对于100%的数据，满足1≤n≤107,0≤m≤3n。

Solution1（20pts）

暴力枚举x,y,z，再判断合不合法，时间复杂度为O(n^3)。

Solution2（50pts）

暴力枚举x,y，根据条件2算出z，再判断合不合法，时间复杂度为O(n^2)。

Solution3（100pts）

暴力枚举x，再求出y,z的所有可能性。

那如何求y,z的所有可能性呢？不妨先令k=m−x，因为条件1，所以当k< 0时没有合法的解，只要讨论k≥0的情况。

首先先看一种简单的情况：n≥k

根据条件2，我们有y+z=k，因为n≥k，所以不存在不合法的结果。

因此，我们就是要求两个自然数之和为kk的数量，这个很明显是k+1k+1种，举个例子：

4=0+4=1+3=2+2=3+1=4+0

其实也就是k=i+(k−i)(0≤i≤k)，共k+1种可能。

然后再看n<k的情况，我们依旧有y+z=k，但此时可能有不合法结果，甚至没有合法结果。

我们先设y=n，此时z=k−n=m−2n为最小值，如果z>n，那么代表没有合法结果，因为最小的可能也不符合要求，也就没有符合要求的结果了。

然后考虑有不合法结果也有合法结果，根据上面的例子4我们可以看出，分解的两端（即y,z分别取较大值时)最可能不符合要求，因此我们只要找出有多少不符合要求的值，再用总情况减去，就知道了有多少合法值。

很明显，从k=i+(k−i)(0≤i≤k)可以看出i>n不符合情况的数量是k-n，k-i不符合情况的数量也是k−n（正好与i不符合情况相反）。

总情况仍是k+1，因此，这时候符合情况的数量就是k+1−(k−n)∗2=2n−k+1。

我们把所有情况加起来就是答案了，时间复杂度为O(n)。

CODE：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k,s,ans;
int main() {
	scanf("%d%d",&k,&s);
	for(int i=0; i<=k; i++) {
		int n=s-i,sum=0;
		if(n>=0) {
			if(n>k) {
				if(n-k>k)
					sum=0;
				else
					sum=2*k-n+1;
			} else
				sum=n+1;
		}
		ans+=sum;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}