现代信号处理——现代谱估计（4）

导论

利用给定的一组样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度称为功率谱估计。在许多工程应用中，功率谱的分析与估计是十分重要的，因为它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。例如在生物医学工程中，功率谱密度的峰形和波形显示类癫痫病发作的周期。

经典功率谱估计参看：https://mp.csdn.net/postedit/89642593

一、平稳ARMA过程

相当多的平稳随机过程都可以通过白噪声激励一线性时不变系统来产生，而线性系统又可以用线性差分方程进行描述，这种差分模型就是自回归滑动平均（ARMA）模型。另一方面，有关功率谱分析的研究表明，任何一个有理式的功率谱密度都可以用一个ARMA随机过程的功率谱密度精确逼近。

1、ARMA过程

（1）若随机过程{x(n)}服从线性差分方程

$\small x\left ( n \right ) + \sum_{i=1}^{p}^{a_{k}} x\left ( n-i \right ) = e\left ( n \right ) + \sum_{j=1}^{q}^{b_{j}} e\left ( n-j \right )$

        式中e(n）是一离散白噪声，则称{x(n)}为ARMA过程，而上式所示的差分方程称为ARMA模型。

         ap——自回归参数（AR）；bq——滑动平均参数（MA）；p——AR阶数；q——MA阶数。

（2）ARMA过程的另一种形式

（3）ARMA模型描述的线性时不变系统的传递函数定义为：

式中hi称为系统的冲激响应系数。可见，系统的极点A（z） = 0 贡献为自回归，而系统零点B(z) = 0 贡献为滑动平均。

（4）ARMA模型特例

1）若B（z）=1,则ARMA（p,q）过程退化为

x(n) + a1x(n-1) + ... + apx(n-p) = e(n)

这一过程称为 阶数为p的自回归过程，简记为AR（p）过程。

 

2）若A（z）=1,则ARMA（p,q）过程退化为

x(n) = e(n) + b1(n)e(n-1) + ... + bq(n-q)

这一过程称为 阶数为q的滑动平均过程，简记为AR（q）过程。

二、平稳ARMA过程的功率谱密度

一个平稳的ARMA过程的功率谱密度具有广泛的代表性。例如，任何有理式谱密度以及在加性白噪声中观测的AR过程，具有线谱的正弦波过程，都可以用ARMA谱密度来表示。由于其广泛的代表性和实用