概率论题目_扑克牌概率题目

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1、从一副52张扑克牌中随机抽两张，颜色相等的概率

$$\frac{2C_{26}^2}{C_{52}^2}$$

2、54张牌，分成6份，每份9张牌，大小王在一起的概率

$$\frac{C_6^1{C}_{52}^7}{C_{54}^9}$$

3、52张牌去掉大小王，分成26*2两堆，从其中一堆取4张牌为4个a的概率

$$\frac{2C_{48}^{22}}{C_{52}^{26}}$$

4、一枚硬币，扔了一亿次都是正面朝上，再扔一次反面朝上的概率是多少

频率派：0.5
贝叶斯派：无限接近0

5、1个硬币抛了10次，8次为正，2次为反，求第11次抛硬币为正的概率

6、有8个箱子，现在有一封信，这封信放在这8个箱子中的概率为4/5,不放的概率为1/5,现在我打开1号箱子发现是空的，求下面7个箱子中含有这封信的概率

P(A)有信
P(B)1号是空

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\hat{A})P(\hat{A})}=\frac{7/8\ast 4/5}{7/8\ast 4/5+1\ast 1/5}=7/9$$

7、已知N枚真硬币，M枚假硬币（两面都是国徽），R次重复采样都是国徽，问R次采样都是真硬币的概率

N枚真硬币有N面正面，N面国徽面，M枚假硬币有2M次国徽面，所以随机扔一次硬币国徽面是N/(N+2M)，R次就是
$$(\frac{N}{N+2M}{)}^R$$

8、一对夫妻有2个孩子，求一个孩子是女孩的情况下，另一个孩子也是女孩的概率

P(A)其中一个孩子是女
P(B)另一个孩子是女

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1/4}{1-1/4}=1/3$$

9、某城市发生了一起汽车撞人逃跑事件，该城市只有两种颜色的车，蓝20%绿80%，事发时现场有一个目击者，他指证是蓝车，但是根据专家在现场分析，当时那种条件能看正确的可能性是80%，那么，肇事的车是蓝车的概率是多少

P(A)目击蓝车
P(B)肇事蓝车

$$P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)P(A|\hat{B})P(\hat{B})}=\frac{0.8\ast 0.2}{0.8\ast 0.2+0.8\ast 0.2}=0.5$$

10、100人坐飞机，第一个乘客在座位中随便选一个坐下，第100人正确坐到自己坐位的概率是？他们分别拿到了从1号到100号的座位，这些乘客会按号码顺序登机并应当对号入座，如果他们发现对应号座位被别人坐了，就会在剩下空的座位随便挑一个坐．现在假设1号乘客疯了（其他人没疯），他会在100个座位中随便选一个座位坐下，问：第100人正确坐到自己坐位的概率是多少？（也可推广到n名乘客n个座位的情况）

等价于这个描述：2-99号乘客登机后如果发现1号(疯子)坐在本属于自己的位子上，就会请疯子离开，然后疯子再随机找个空座。这样到100号登机时，2-99号都在自己座位上，1号疯子在自己座位上和100号乘客座位上概率相同，所以是1/2。另外这个结果和总乘客数无关，可以由100推广至任意k。

假设疯子坐到了第2号位置上，第二个人因此根据题目随机坐到1和3-100位置上，和答主所说的2号把疯子赶走后疯子再随机坐到1和3-100位置上，对于第3号人没有任何区别。从3号的角度看都是有一个坐在2号座位上的人，还有一个随机找座位的“疯子”

11、一个国家重男轻女，只要生了女孩就继续生，直到生出男孩为止，问这个国家的男女比例

每个家庭女孩数量的期望设为E(X)。

假如第一个孩子是男孩（1/2的概率），停止生小孩，这时女孩总数为0；
假如第一个孩子是女孩（也是1/2的概率），相当于回到了起始点，之后的女孩总数期望还是E(X)，加上已经生的第一个女孩，故而女孩的总数期望变为了1+E(X)，最终可得：

$$E(X)=0.5\ast 0+0.5\ast (E(X)+1)=1$$

所以男女比1:1

12、有50个红球，50个蓝球，如何放入两个盒子中使得拿到红球的概率最大

1个盒子放红球，另一个盒子放49红球和50篮球

$$0.5\ast 1+0.5\ast 49/99$$

13、某个函数f返回值为0/1，0返回的概率为p，写一函数返回0/1概率相等。

def g():
	while 1:
		a = f()
		b = f()
		if a==b:
			return a
1
2
3
4
5
6

拒绝采样，采样率是2p(1-p)

14、给你一个函数，这个函数是能得出1-5之间的随机数的，概率相同。现在求1-7之间随机函数

def random7():
	# 随机生成1-25
	num = 5*(random(5)-1)+random(5)
	if num>21:
		return random7()
	return (num-1)%7+1
1
2
3
4
5
6

拒绝采样，采样率为21/25

15、X是一个以p的概率产生1,1-p的概率产生0的随机变量，利用X等概率生成1-n的数

生成2进制

def random01():
	a = random()
	b = random()
	if a!=b:
		return a
	else:
		return random01()


def randomN(n):
	num = math.ceil(math.log(n,2))
	res = ''
	for _ in range(num):
		res += random01()
	res = int(res,2)
	if res >= n:
		return randomN(n)
	return res+1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

15、一个硬币，如何构建事件，使得事件发生的概率为2/3

抛两次硬币，如果两次都是正面，就重新抛两次，这样都是反面的概率就是1/3

可以理解为00、01、10、11把11的情况去除了

16、怎么计算圆周率π的值

长为2的正方形，内切圆半径为1，往正方形里面随机投点，假设投了N次，有M次是在圆里面，则有
$$M/N=\pi /4$$

17、给一个概率分布均匀的随机数发生器，给一串float型的数，希望通过这个随机数发生器实现对这串数进行随机采样，要求是如果其中的某个数值越大，那么它被采样到的概率也越大。

softmax或sigmoid

18、一本无数个字的书从前往后读，某个时间点突然暂停并返回之前读过的某个字，要求每个字返回的概率是一样的。

• 所有字相同
• 所有字不同

19、一个有n*n个方格的棋盘，在里面放m个地雷，如何放保证在每个方格上放雷的概率相等。

需要一个生成1-n的随机数生成器，然后每次调用两次生成x，y，作为地雷放置的位置，如果位置重复则舍弃，重复执行直到获得m个位置。

20、一根棍子折三段能组成三角形的概率

a+b+c=L
a+b>c
a+b>2/L
a+b<L

橙色区域即为概率1/4

21、一个圆上三个点形成钝角的概率是多少

问题转为，任取三角形，圆心落在三角形内、外、边上的概率各是多少，如图，只有在蓝色区域才是包含圆心，此时是锐角三角形，所以是3/4

22、X，Y独立均服从（0,1）上的均匀分布，求 P { X 2 + Y 2 ≤ 1 } P\{ X^2 +Y^2≤1\} P{X2+Y2≤1}

$$\pi /4$$

23、一个袋子里有100个黑球和100个白球，每次随机拿出两个球丢掉，如果丢掉的是不同颜色的球，则从其他地方补充一个黑球到袋子里，如果颜色相同，则补充一个白球到袋子里。问：最后一个球是黑球和白球的概率分别为多大

（黑、白）
（-1，-1）（1,0）（0，-1）
（-2,0）（0,1）（-2,1）
（0，-2）（0,1）（0，-1）
三种情况，最后剩一个白球。相当于取异或，黑为1，白为0，所有球异或的结果是0

24、扔骰子，最多扔两次，第一次扔完可以自行决定要不要扔第二次，取最后一次扔色子的结果为准，求：尽可能得到最大点数的数学期望

1 2 3重新摇，4 5 6不摇

$$1/2\ast 5+1/2\ast (1/2\ast 2+1/2\ast 5)=4.25$$

25、甲乙轮流抛硬币，正面胜，先抛的人优势多大

四种情况 正正 正反 反正 反反，最后一种情况是平局，先抛的胜率2/3

26、不断地抛一枚均匀硬币，当出现连续两个正面时停止。问期望的总次数是多少

首先先抛一枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛一枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么又需要重头开始。

$$\begin{gathered} T=1+0.5T+0.5(1+0.5\ast 0+0.5T) \\ T=6 \end{gathered}$$

27、一个赌徒手中持有a美元，他和庄家进行抛均匀硬币的赌博，如果硬币为正面，赌徒获得1美元，否则赌徒失去1美元。当赌徒持有0美元时，以赌徒失败结束游戏；当赌徒持有a + b美元时，以庄家破产结束游戏。问赌徒的获胜概率。

有i美元时1/2的概率失去一美元也有1/2的概率得到一美元
$$\begin{gathered} p_i=1/2p_{i-1}+1/2p_{i+1} \\ 等差是\frac{1}{i}{p}_i \\ {p}_{a+b}=0+(a+b-0)\frac{1}{i}{p}_i \\ 1=(a+b)\frac{1}{i}{p}_i \\ {p}_i=\frac{i}{a+b} \\ {p}_a=\frac{a}{a+b} \end{gathered}$$

28、甲乙约定在某地,忘了约时间,只知道七点到八点见面,他们都打算于七点到七点四十五随机时刻到达某地,然后等十五分钟,如果两人没见面就走人,问他们见面的概率是多少

|x-y|<=15

红色区域面积除以矩形面积4/9

29、a b c 分别循环投掷硬币，直到正面出现胜利，求a b c获胜的概率

正正正 正正反 正反反 正反正 反正正 反正反 反反正 反反反
8种情况，最后一种情况不考虑
a:4/7
b:2/7
c:1/7

30、某大公司有这么一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工全部放假一天。但在其余时候，所有员工都没有假期，必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大

n个员工，工作(不过生日)的概率是$(364/365{)}^n$

$$\begin{gathered} E=365\ast n\ast (364/365{)}^n \\ lnE=ln(365n)+nln(364/365) \end{gathered}$$

求导n=364.5

31、有一个很大很大的输入流，大到没有存储器可以将其存储下来，而且只输入一次，如何从这个输入流中随机取得m个记录

开一个m大的数组a[m]，前m个记录存入这个数组中。往后的记录采用这种取舍策略：假设为第p个，p是大于m的，在[0，p）间产生一个随机数r，如果r<m，那么a[r] = 第p个记录，反之抛弃这个记录。

32、某段公路上1小时有车通过的概率是0.96，半小时有车通过的概率是多少

一个小时没车通过的概率是0.04，设x是半个小时没车通过的概率，有x^2=0.04，x=0.2，半小时有车通过的概率是1-0.2=0.8

33、一个公交站在1分钟内有车经过概率是p，问3分钟内有车经过概率

$$1-(1-p{)}^3$$

34、三个范围在0-1的数，和也在0-1的概率

三角锥的体积/正方体体积=$1\ast 1\ast 1/2\ast 1\ast 1/3=1/6$

35、三个范围在0-1的数，平方和也在0-1的概率

球的体积/正方体的体积=$(\frac{4}{3}\pi {\frac{1}{2}}^3)/1=\frac{1}{6}\pi$

36、11个球，1个特殊球，两个人无放回拿球，问第一个人取到特殊球的概率

相当于12个球排序，然后特殊球在1 3 5 7 9 11的概率，因此是1/2

37、11个球，1个特殊球，两个人有放回拿球，问第一个人先拿到这个特殊球的概率

假设第一个人先拿到的概率为p

$$p+\frac{11}{12}p=1$$

38、抛硬币，正面继续抛，反面不抛。问抛的次数的期望

$$E=\sum k/2^k$$

39、不停抛掷硬币直至连续3次出现正面，此时抛硬币的次数的期望是多少

设抛到正面的概率是p，期望是E
$$E=(1-p)(E+1)+p(1-p)(E+2)+p^2(1-p)(E+3)+3p^3$$

1反+1正1反+2正1反+3正

40、砝码问题：2个轻的砝码，5个重的砝码和一个天平，几轮可以找到轻的砝码

左右分别放两个

• 一样重

  • 选一边称一次，如果不一样重，再称另一边找到另外一个轻的，三次
  • 选一边称一次，如果一样重，剩余的三个随便选两个称，一样中就都是轻，三次

• 不一样重

  • 把轻的称一下，如果一样重，就都是轻，两次
  • 把轻的称一下，如果不一样重，找到一个轻的，把剩余三个随便选两个称，一样重剩余的就是轻的，三次

41、你在参加一个抽汽车的活动，你选择了一个门之后，主持人选择另外两个门的其中一个打开是山羊，然后问你是否换门，你换还是不换

选一个门中奖的概率是1/3，剩余两个门里有奖的概率是2/3，主持人否定了一个门之后，剩下的门的中奖概率就是1/3

41、A是B的子集，P(B)＞0，则P(A)与P(A|B)的关系

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)}{P(B)}$$

42、A 有 n 个硬币,B 有 n+1 个硬币,谁丢的正面多谁赢,问 B赢的概率

前n轮，A正和B正面有三种情况，A>B A=B A<B，设P(A>B)=p，P(A=B)=q，由对称性，P(A<B)=p，所以2p+q=1
第n+1轮，A<B，B必赢，A=B，B抛出正则赢，A>B，B怎么都赢不了

$$P(B)=P(A<B)+0.5\ast P(A=B)=p+0.5q=0.5$$

43、抛2k+1次硬币，问正面次数比背面多的概率是多大，并讲出数学证明思路

设正面比背面多的概率是P，因为是奇数次，所以肯定不会相等，背面比正面多的概率也是P，P+P=1，所以是0.5

44、6位数字的8位数码管显示的数字，倒过来看和以前相同的概率是多少

01258是轴对称，6和9是轴对称的，一共可以选7个数，666999倒过来看还是666999，258852，要这样轴对称的，只需要确定前三位数

$$7^3/10^3$$

45、2个1和6个0可以组成几个不同的二进制数？这些二进制数化为十进制后总和是多少

$$C_8^2$$

46、月神特别喜欢吃月饼，中秋节时快手发了10个月饼，已知月神一天至少吃一个月饼；请问，月神在3天内将10个月饼全部吃完的概率为多少

插缝法，一天吃完不插缝，两天吃完插一个封，十天吃完插九个封，一共是9个封

47、有30瓶一样的药水，其中有一瓶变质了，喝了之后1小时会死掉。最少需要多少只小白鼠做实验，才能保证在1小时时间内找到有变质的一瓶

5只

药水的编码转二进制，几个1就是几只鼠