数组相关2--小和问题的详解_c++小和问题

数组相关–2

1.小和问题

问题描述：在一个数组中，每一个数的左边比当数小的数累加起来，称为这个数组的小和、
例如：arr[] = {1,3,4,2,5};
1左边比1小的数===》没有
3左边比3小的数===》1
4左边比4小的数===》1，3
2左边比2小的数===》1
5左边比5小的数===》1，3，4，2
故数组arr的小和为1+1+3+1+1+3+4+2 = 16

根据题目意思，我们可以使用遍历的方式得到数组的小和，但是时间复杂度为O(N^2)。具体实现如下：

int smallSum(int *arr,int len)
{
	int re =0;
	for(int i =1;i<len;++i)
	{
		for(int j =0;j<i;++j)
		{
			if(arr[j]<arr[i])
			{
				re += arr[j];
			}
		}
	}
	return re;
}
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显然，这种实现方式的时间复杂度太高，因此，我们使用类似归排的方式来优化整个算法。使整个过程的时间复杂度降低。如图：

我们将整个数据按照下标分为左右两部分，然后我们使用一种类似于归排的方式，即在归排的过程中，当前一个数小于后一个数时，我们将这个小数进行累加，并且返回。因此，我们使用递归可以获得每一部分的小和，且每一部分的小和都是它的两个子部分小和与归排得到的结果相加。最后我们就能够得到整个数组的小和了。具体实现如下图：

我们将整个数组分为如图1后，显然对一个数据的归排是无效的。所以，有效的归排从对1，3进行排序开始，那么对1，3归排后得到的小和为1。然后对1，3和4进行归排，得到小和为1+3。接着对2，5归排得到的小和为2。最后对1，3，4和2，5归排得到的小和为1+1+3+4。因此整个数组的小和为1+1+3+2+1+1+3+4=16.
具体代码的实现为：

#include<iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int smallSum(vector<int>&arr);
int mergeSort(vector<int>&arr, int l, int r);
int merge(vector<int>&arr, int l, int mid, int r);
int smallSum(vector<int>&arr)
{
 if (arr.size() == 1)return 0;
 return mergeSort(arr, 0, arr.size() - 1);
}
int mergeSort(vector<int>&arr, int l, int r)
{
 if (l == r)return 0;
 int mid = (l + r) / 2;
 return mergeSort(arr, l, mid) + mergeSort(arr, mid + 1, r) + merge(arr, l, mid, r);
}
int merge(vector<int>&arr, int l, int mid, int r)
{
 int len = r - l + 1;
 int *help = new int[len];
 int i = 0;
 int re = 0;
 int p1 = l;
 int p2 = mid + 1;
 while (p1<=mid&&p2<=r)
 {
  re += arr[p1] < arr[p2] ? (r-p2+1)*arr[p1] : 0;
  help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] :arr[p2++];
 }
 while (p1 <= mid)
 {
  help[i++] = arr[p1++];
 }
 while (p2 <= r)
 {
  help[i++] = arr[p2++];
 }
 for (int i = 0; i < len; ++i)
 {
  arr[l + i] = help[i];
 }
 delete[] help;
 return re;
}
int main03(void)
{
 vector<int>arr;
 arr.push_back(1);
 arr.push_back(3);
 arr.push_back(4);
 arr.push_back(2);
 arr.push_back(5);
 cout << smallSum(arr) << endl;
 for (int i = 0; i < 5; ++i)
  cout << arr[i] << endl;
 system("pause");
 return 0;
}
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