322. 零钱兑换 ——【Leetcode每日一题】_给你一个整数数组coins,表示不同面额的硬币;以及一个整数amount,表示总金额。 计

322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

322. 零钱兑换

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

• $1<=coins.length<=12$
• $1<=coins[i]<=2^{31}-1$
• $0<=amount<=10^4$

思路：(动态规划)

此问题属于 0-1背包 的 完全背包 ，解法和 0-1背包类似：
0 - 1背包问题（万能统一代码）

定义一个二维数组dp 存储所需硬币个数，其中 dp[i][j] 表示前 i 个硬币 可以凑成总金额 为 j 所需最少的硬币个数：

• 每种硬币的数量是无限的，所以可以重复使用
• 状态转移方程为：
  $$dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-coins[i]]+1)$$

观察前 i 个硬币的状态仅与前 i-1 个硬币的状态有关，因此可以将 dp 定义为一维数组，其中 dp[j] 既可以表示 dp[i-1][j] 也可以表示 dp[i][j]：状态转移方程为：
$$dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1)$$

代码：(Java)

import java.util.Arrays;

public class CoinChange {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int[] coins = {1, 2, 5};
		int amount = 11;
		System.out.println(coinChange(coins, amount));
	}
	public static int coinChange(int[] coins, int amount) {
		if(amount == 0) {
			return 0;
		}
		int[] dp = new int[amount + 1];
		for(int i = 0; i < coins.length; i++) {
			if(coins[i] > amount) {
				continue;
			}
			dp[coins[i]] = 1;
			for(int j = coins[i] + 1; j <= amount; j++) {
				if(dp[j - coins[i]] != 0 && (dp[j] == 0 || dp[j] > dp[j - coins[i]] + 1)) {
					dp[j] = dp[j - coins[i]] + 1;
				}
			}
		}
		
		return dp[amount] == -1 ? 0 : dp[amount];
    }
}

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运行结果：

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(len\ast amount)$, $len$ 为数组 $coins$ 的长度，$amount$ 为要凑成的总金额。
• 空间复杂度：$O(amount)$ ，需要开辟一个一维数组 dp ， 长度为$amount+1$ ，$amount$ 为要凑成的总金额。

相同解法题目：

518. 零钱兑换 II

注：仅供学习参考！

题目来源：力扣。