深度学习入门-神经网络_深度学习神经网络 入门

深度学习入门-神经网络

1、神经网络与感知机

​ 感知机对于复杂的处理，理论上是可以将其表示出来的，但是确定其合适的权重，还是需要人工干预。该工作往往是复杂且庞大的，神经网络的出现就是为了解决这个问题的。具体地讲，神经网络的一 个重要性质是它可以自动地从数据中学习到合适的权重参数。

2、感知机函数的新形式

$$y=h(b+w_1{x}_1+w_2{x}_2)$$

h ( x ) = { 0 ( x ≤ 0 ) 1 ( x > 0 ) h(x) =

$$\begin{cases} 0&\text(x\leq0) \\ 1&\text(x>0) \end{cases}$$ h(x)={01​(x≤0)(x>0)​

3、激活函数

​ 上文中的h（x）函数会将输入信号的总和转换为输出信号，这种函数 一般称为激活函数。如“激活”一词所示，激活函数的 作用在于决定如何来激活输入信号的总和。激活函数是连接感知机和神经网络的 桥梁。

​ 形如h(x) 的称为阶跃函数，如果将激活函数从阶跃函数换成其他函数，就可以进入神经网络的世界了。

3.1、sigmoid函数

$$h(x)=\frac{1}{1+exp(-x)}$$

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt

def sigmoid(x):
    return np.array(1/(1 + np.exp(-x)))

x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y = sigmoid(x)
plt.plot(x, y)
plt.ylim(-0.1, 1.1) # 指定y轴的范围
plt.show()
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

3.2、阶跃函数

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt

def step_function(x):
    return np.array(x > 0, dtype = np.int)

x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1) #在−5.0到5.0的范围内，以0.1为单位，生成NumPy数组（[-5.0, -4.9, ..., 4.9]）
y = step_function(x)
plt.plot(x, y)
plt.ylim(-0.1, 1.1) # 指定y轴的范围
plt.show()
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

3.3、ReLU函数

h ( x ) = { 0 ( x ≤ 0 ) x ( x > 0 ) h(x) =

$$\begin{cases} 0&\text(x\leq0) \\ x&\text(x>0) \end{cases}$$ h(x)={0x​(x≤0)(x>0)​

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt

def relu(x):
    return np.maximum(0,x)

x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y = relu(x)
plt.plot(x, y)
plt.ylim(-0.1, 1.1) # 指定y轴的范围
plt.show()
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

3.4、为什么激活函数不能用线性函数

​ 线性函数的问题在于，不管如何加深层数，总是存在与之等效的“无 隐藏层的神经网络”。为了具体地（稍微直观地）理解这一点，我们来思 考下面这个简单的例子。这里我们考虑把线性函数 h(x) = cx 作为激活 函数，把y(x) = h(h(h(x)))的运算对应3层神经网络A。这个运算会进行 y(x) = c × c × c × x的乘法运算，但是同样的处理可以由y(x) = ax（注意， a = c^3）这一次乘法运算（即没有隐藏层的神经网络）来表示。如本例所示， 使用线性函数时，无法发挥多层网络带来的优势。因此，为了发挥叠加层所 带来的优势，激活函数必须使用非线性函数。

4、三层神经网络的实现

第一层实现如下

代码

import numpy as np

def sigmoid(x):
    return np.array(1/(1 + np.exp(-x)))

X = np.array([1.0, 0.5])
W1 = np.array([[0.1, 0.3, 0.5],[0.2, 0.4, 0.6]])
B1 = np.array([0.1, 0.2, 0.3])

A1 = np.dot(X, W1) + B1
Z1 = sigmoid(A1)

print(A1)
print(Z1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

​ 第二层和第三层的构造及实现与第一层类似，不做赘述。

三层完整的代码实现

import numpy as np

def sigmoid(x):
    return np.array(1/(1 + np.exp(-x)))

def identity_function(x):
    return x

def init_network(): #进行权重和偏置的初始化
    network = {} #network 为一个字典
    network['W1'] = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]])
    network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
    network['W2'] = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
    network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])
    network['W3'] = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
    network['b3'] = np.array([0.1, 0.2])
    return network

def forward(network, x): #封装了将输入信号转换为输出信号的处理过程
    W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']

    a1 = np.dot(x,W1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1,W2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    a3 = np.dot(z2,W3) + b3
    y = identity_function(a3)
    
    return y

network = init_network()
x = np.array([1.0, 0.5])
y = forward(network, x)
print(y)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

5、softmax函数

$$输出层共有n个神经元，计算第k个神经元的输出：y_k=\frac{exp(a_k)}{{\sum }_{i=1}^{n}exp(a_i)}$$

def softmax(a):
    exp_a = np.exp(a)
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    return y
1
2
3
4
5

5.1、softmax函数可进行如下改造

​ 上式说明，在进行softmax的指数函数的运算时，加上（或者减去） 某个常数并不会改变运算的结果。这里的C 可以使用任何值，但是为了防止溢出，一般会使用输入信号中的最大值。

代码实现

def softmax(a):
    exp_a = np.exp(a - np.max(a))
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    return y
1
2
3
4
5

​ softmax函数的输出是0.0到1.0之间的实数。并且，softmax 函数的输出值的总和是1。输出总和为1是softmax函数的一个重要性质。正 因为有了这个性质，我们才可以把softmax函数的输出解释为“概率”。