格拉姆角场

格拉姆角场学习GAF官方文档

格拉姆角场能够将时间序列数据转换为图像数据，既能保留信号完整的信息，也保持着信号对于时间的依赖性。信号数据转换为图像数据后就可以充分利用CNN在图像分类识别上的优势，进行建模 。

Document:

为每个(x_i, x_j)创建一个时间相关性矩阵。首先，它以-1<a < b< 1重新缩放范围[a, b]内的时间序列。然后，它通过取:\arccos来计算缩放时间序列的极坐标。最后，它计算了格拉姆角和场(GASF)----角度之和的余弦值，或格拉姆角和场(GADF)----角度差值的正弦值。

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格拉姆矩阵：假设有一个向量V，Gram矩阵就是来自V的每一对向量的内积矩阵。

• 通过取每个 M 点的平均值来聚合时间序列以减小大小。此步骤使用分段聚合近似PAA ( Piecewise Aggregation Approximation / PAA)。
• 区间[0,1]中的缩放值。
• 通过将时间戳作为半径和缩放值的反余弦（arccosine）来生成极坐标。这杨可以提供角度的值。
• 生成GASF / GADF。在这一步中，将每对值相加（相减），然后取余弦值后进行求和汇总
• 
• 通过取时间序列值的余弦倒数来计算 A 和 B（实际上是在 PAA 和缩放之后的值上）

代码实例

1. 分段聚合近似PAA

# Author: Johann Faouzi <johann.faouzi@gmail.com>
# License: BSD-3-Clause

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pyts.approximation import PiecewiseAggregateApproximation

# Parameters
n_samples, n_timestamps = 100, 48

# Toy dataset
rng = np.random.RandomState(41)
X = rng.randn(n_samples, n_timestamps)

# PAA transformation
window_size = 6
paa = PiecewiseAggregateApproximation(window_size=window_size)
X_paa = paa.transform(X)

# Show the results for the first time series
plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.plot(X[0], 'o--', ms=4, label='Original')
plt.plot(np.arange(window_size // 2,
                   n_timestamps + window_size // 2,
                   window_size), X_paa[0], 'o--', ms=4, label='PAA')
plt.vlines(np.arange(0, n_timestamps, window_size) - 0.5,
           X[0].min(), X[0].max(), color='g', linestyles='--', linewidth=0.5)
plt.legend(loc='best', fontsize=10)
plt.xlabel('Time', fontsize=12)
plt.title('Piecewise Aggregate Approximation', fontsize=16)
plt.show()
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Gramian Angular Field（时间序列转图像的过程）

# python 示例

# 导入需要的包
from pyts.approximation import PiecewiseAggregateApproximation
from pyts.preprocessing import MinMaxScaler
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成一些demo数据
X = [[1,2,3,4,5,6,7,8],[23,56,52,46,34,67,70,60]]
plt.plot(X[0],X[1])
plt.title(‘Time series’)
plt.xlabel(‘timestamp’)
plt.ylabel(‘value’)
plt.show()

# 分段聚合逼近和缩放
# PAA
transformer = PiecewiseAggregateApproximation(window_size=2)
result = transformer.transform(X)

# Scaling in interval [0,1]
scaler = MinMaxScaler()
scaled_X = scaler.transform(result)

plt.plot(scaled_X[0,:],scaled_X[1,:])
plt.title(‘After scaling’)
plt.xlabel(‘timestamp’)
plt.ylabel(‘value’)
plt.show()

# 转换成极坐标
arccos_X = np.arccos(scaled_X[1,:])
fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={‘projection’: ‘polar’})
ax.plot(result[0,:], arccos_X)
ax.set_rmax(2)
ax.set_rticks([0.5, 1, 1.5, 2]) # Less radial ticks
ax.set_rlabel_position(-22.5) # Move radial labels away from plotted line
ax.grid(True)

ax.set_title(“Polar coordinates”, va=’bottom’)
plt.show()

# Gramina angular summation fields
field = [a+b for a in arccos_X for b in arccos_X]
gram = np.cos(field).reshape(-1,4)
plt.imshow(gram)
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参考文献：
《Encoding Time Series as Images for Visual Inspection and Classification Using Tiled Convolutional Neural Networks》 janurary,2015

Gramian Angular Field

给定一个时间序列X，将其缩放到[-1,1]，

然后再在极坐标系中表示该时间序列（通过将value编码为angular cosine，将时间戳编码为radius，

ti是时间戳，N是正则化极坐标系统跨度的常数因子。这种基于极坐标的表示方法是理解时间序列的一种新方法。随着时间的增加，相应的值在跨越圆上的不同角度点之间扭曲，就像水荡漾一样。

• 等式2的编码映射有两个重要的性质。首先，当φ∈[0，π]时，当cos（φ）单调时，它是双射的。给定一个时间序列，所提出的映射在极坐标系中产生且仅一个具有唯一反函数的结果。
• 它提供了一种保持时间依赖性的方法，因为随着位置从左上角移动到右下角，时间会增加。GAF包含时间相关性，因为G（i，ji j=k）通过相对于时间间隔k的方向叠加来表示相对相关性

Question：当编码为反函数值时，-1和1怎么确定呢？value都是正的时，对应两个角度（在$0$到$2\pi$上）。。。怎么选