高斯核函数_高斯核函数定义matlab

径向基函数（Radial Basis Function简称RBF），就是沿某种沿径向对称的标量函数。通常定义为空间中任意一点x到一中心点xc之间的欧氏距离的单调函数，可以记作k=（||x-xc||），其作用往往是局部的，即当x远离xc时函数取值很小。最常用的径向基函数是高斯核函数，形式为：

其中xc为核函数中心，σ为函数的宽度函数，控制了函数的径向作用范围。

数学表示

|| ||表示Norm运算，即取向量的度量，二维下常为距离函数。

计算机视觉中的应用

在计算机视觉中，有时也简称为高斯函数。高斯函数具有5个重要的性质，这些性质使它在早期图像处理中具有特别的作用。这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是频率域都是十分有效的低通滤波器。
（1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的。一般来说，一幅图像的边缘放下是事先不知道的，因此滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑。旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方。
（2）高斯函数是单值函数，这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心的距离单调增减的，这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑算子对离算子中心很远的像素点仍然有很大的作用，则平滑运算会使图像失真。
（3）高斯函数的傅里叶变换频谱是单瓣的，这一性质是高斯函数傅里叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论。图像常被不希望的高频信号所污染（噪声和细纹理）。而所希望的图像特征（如边缘），即含有低频分量又含有高频分量。高斯函数傅里叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号。
（4）高斯滤波器宽度（决定平滑程度）是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是非常简单的。σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好。通过调节平滑程度参数σ，可在图像特征过分模糊（过平滑）与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量（欠平滑）之间取得折中。
（5）由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效实现，二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积，因此，二维高斯滤波的计算量随滤波宽度成线性增长而不成平方增长。