全连接神经网络（MLP)

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1 深度学习概述

深度学习是机器学习领域中的一个新的研究方向，模仿生人类神经网络，学习样本数据的内在规律的一种方法，可以处理回归、分类等问题。深度学习主要框架：Pytorch、Tensorflow、Mindspore等。

2 单个神经元

已知一个样本$(x,y)$ ，其中样本的维度 $x\in {\mathbb{R}}^n$。每个神经元由线性变换$z=w^{T}x+b$和非线性变换$\sigma (z)$组成，如图所示。

当一个样本 x = ( x ( 1 ) x ( 2 ) ⋮ x ( n ) ) x=

$$\begin{pmatrix} x^{(1)}\\ x^{(2)}\\ \vdots \\ x^{(n)}\\ \end{pmatrix}$$ x= ​x(1)x(2)⋮x(n)​ ​输入一个神经元时，首先对该样本进行线性变换，即$z=w^{T}x+b=w_1{x}^{(1)}+w_2{x}^{(2)}+\cdots +w_n{x}^{(n)}+b$，其中$w=\left(\begin{array}{c}{w}^{(1)}\\ w^{(2)}\\ ⋮\\ w^{(n)}\end{array}\right)$为权重向量，$b$为偏置标量；然后进行非线性变换，即$\hat{y}=\sigma (z)$，其中$\sigma$为激活函数。激活函数主要包括sigmoid、tanh、Relu等，如图所示。
(1)$Sigmoid(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

(2)$Tanh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}$

(3)$Relu(z)=\{\begin{array}{c}max(0,z),z\ge 0\\ 0,z<0\end{array}$

3 全连接神经网络

3.1 回归任务

全连接神经网络由输入层、隐藏层和输出层组成。N层神经网络=隐藏层总数+输出层，例如2层神经网络=1个隐藏层+1个输出层。用全连接神经网络实现回归问题，结构如图：

假设一个样本$x_{1\times n}$作为输入层，经过隐藏层和输出层，得到预测结果$\hat{y}$,用矩阵表示：
(1)隐藏层：$z_{1\times 5}=\sigma (x_{1\times n}{W}_{n\times 5}^{(1)}+b_{1\times 5}^{(1)})$
(2)输出层：${\hat{y}}_{1\times 1}=\sigma (z_{1\times 5}{W}_{5\times 1}^{(2)}+b_{1\times 1}^{(2)})$
假设batch_size个样本$x_{b\times n}$作为输入层，经过隐藏层和输出层，得到预测结果${\hat{y}}_{b\times 1}$,用矩阵表示：
(1)隐藏层：$z_{b\times 5}=\sigma (x_{b\times n}{W}_{n\times 5}^{(1)}+b_{b\times 5}^{(1)})$
(2)输出层：${\hat{y}}_{b\times 1}=\sigma (z_{b\times 5}{W}_{5\times 1}^{(2)}+b_{b\times 1}^{(2)})$
比较样本预测值${\hat{y}}_{b\times 1}$和真实值$y_{b\times 1}$的误差可以用平均绝对误差(Mean Absolute Error,MAE)、均方误差(Mean Square Error,MSE)和均方根误差(Root Mean Square Error,RMSE)等。
(1)$MAE=\frac{1}{b}{\sum }_{i=1}^b\left|y_j-\widehat{y_j}\right|$
(2)$MSE=\frac{1}{b}{\sum }_{i=1}^b(y_j-\widehat{y_j}{)}^2$
(3)$RMSE=\sqrt{\frac{1}{b}{\sum }_{i=1}^b(y_j-\widehat{y_j}{)}^2}$

3.2 分类任务

当用全连接神经网络实现多分类问题，需要知道每个样本为每个类别的概率是多少，这时可以在输出层后面接入softmax函数。softmax是先对每个输出$p_j$进行$e^x$指数函数变换，然后进行归一化处理，最终输出每个类别的概率值，结构如图：
假设数据集分为3类，则输出层包括3个神经元。将一个样本$x_{1\times n}$作为输入层，经过隐藏层和输出层，得到预测分布为$p_1$，$p_2$和$p_3$，最后经过softmax层进行归一化，将该样本的预测分布变为${\hat{y}}_1$，${\hat{y}}_2$和${\hat{y}}_3$ 。用矩阵表示：
(1)隐藏层：$z_{1\times 5}=\sigma (x_{1\times n}{W}_{n\times 5}^{(1)}+b_{1\times 5}^{(1)})$
(2)输出层：$p_{1\times 3}=\sigma (z_{1\times 5}{W}_{5\times 3}^{(2)}+b_{1\times 3}^{(2)})$
(3)softmax层：${\hat{y}}_{1\times 3}=softmax(p_{1\times 3})$
假设batch_size个样本$x_{b\times n}$作为输入层，经过隐藏层和输出层，得到预测结果${\hat{y}}_{b\times 3}$,用矩阵表示：
(1)隐藏层：$z_{b\times 5}=\sigma (x_{b\times n}{W}_{n\times 5}^{(1)}+b_{b\times 5}^{(1)})$
(2)输出层：$p_{b\times 3}=\sigma (z_{b\times 5}{W}_{5\times 3}^{(2)}+b_{b\times 3}^{(2)})$
(3)softmax层：${\hat{y}}_{b\times 3}=softmax(p_{b\times 3})$
比较样本的预测分布${\hat{y}}_{b\times 3}$和真实分布$y_{b\times 3}$的误差可以用交叉熵度量。
例如：batch_size为4，待分类标签有3个，其中预测分布 y ^ 4 × 3 = ( 0.3341 0.5851 0.0808 0.5428 0.1770 0.2803 0.2821 0.1665 0.5515 0.1966 0.4835 0.3199 ) \hat{y}_{4\times 3}=

$$\begin{pmatrix} 0.3341& 0.5851& 0.0808\\ 0.5428& 0.1770& 0.2803\\ 0.2821& 0.1665& 0.5515\\ 0.1966& 0.4835& 0.3199 \end{pmatrix}$$ y^​4×3​= ​0.33410.54280.28210.1966​0.58510.17700.16650.4835​0.08080.28030.55150.3199​ ​，真实分布$y_{4\times 3}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$。因此，batch_size的损失函数Loss是batch_size的平均Loss，即$Loss=-[log0.5851+log0.5428+log0.5515+log0.4835]/4$。