详解，python求矩阵的秩，你肯定能看懂

在 Python 中，可以使用 NumPy 库求矩阵的秩。
NumPy 库提供了 numpy.linalg.matrix_rank() 函数，该函数可以计算矩阵的秩。

矩阵的秩 是矩阵中独立行（列）的数量，它是一个数学概念，用于评估矩阵的线性相关性。
秩可以用于确定矩阵是否可逆，以及矩阵的解的存在性和唯一性。

Python Numpy 库求矩阵的秩

import numpy as np

matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
rank = np.linalg.matrix_rank(matrix)
print("Rank of the matrix:", rank)
1
2
3
4
5

代码运行结果如下：

Rank of the matrix: 2
1

如果使用的是非方阵（即具有不同行数和列数的矩阵），则必须将其转换为二维数组才能使用 numpy.linalg.matrix_rank() 函数。

SVD 分解求矩阵的秩

使用 numpy 库中的 svd() 函数进行奇异值分解（SVD），然后对分解后的矩阵中的奇异值进行秩的统计：

import numpy as np

matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
U, s, V = np.linalg.svd(matrix)
rank = np.sum(s > 1e-10)
print("Rank of the matrix:", rank)
1
2
3
4
5
6

QR 分解求矩阵的秩

使用 numpy 库中的 qr() 函数进行 QR 分解，然后计算分解后的矩阵的秩：

import numpy as np

matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
Q, R = np.linalg.qr(matrix)
rank = np.linalg.matrix_rank(R)
print("Rank of the matrix:", rank)
1
2
3
4
5
6

SVD 分解和 QR 分解这两种方法的计算代价比 numpy.linalg.matrix_rank() 函数更高，因此如果我们的数据规模很大，建议使用 numpy.linalg.matrix_rank() 函数。

原生 Python 求矩阵的秩

使用消元法（例如高斯消元法）求解矩阵的秩。
在这种方法中，可以将矩阵转化为上三角矩阵，并计算非零行数。

非零行数就是矩阵的秩。

下面代码使用高斯消元法求解矩阵秩的示例代码：

def rank(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    for i in range(min(m, n)):
        pivot = i
        for j in range(i + 1, m):
            if abs(matrix[j][i]) > abs(matrix[pivot][i]):
                pivot = j
        if matrix[pivot] != matrix[i]:
            matrix[i], matrix[pivot] = matrix[pivot], matrix[i]
        for j in range(i + 1, m):
            f = matrix[j][i] / matrix[i][i]
            for k in range(i + 1, n):
                matrix[j][k] -= matrix[i][k] * f
            matrix[j][i] = 0
    return sum(1 for row in matrix if any(row))


matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
print("Rank of the matrix:", rank(matrix))
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
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19

该算法的时间复杂度为 $O(m{n}^2)$，如果数据规模很大，该算法可能会很慢。

总结

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