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数值分析期末复习

第1章-误差与秦九韶算法

填空题

1. 什么是数值分析？与数学科学的关系如何？
   数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。

2. 什么是算法？如何判断数值算法的优劣？
   数值问题的算法指按规定顺序执行一个或多个完整的进程，通过算法将输入元变换为输出元
   判断数值算法的优劣：可靠性、准确性、时间和空间复杂性

3. 误差的来源，截断误差与舍入误差的区别？

   • 模型误差（模型将实际问题抽象、简化带来的误差）
   • 观测误差
   • 截断误差（数值方法求得近似解与精确解之间的误差）
   • 舍入误差（计算机字长有限产生的误差）

4. 什么是近似数的有效数字？
   若近似数x* 的误差限是某一位的半个单位，该位到x* 的第一位非零数字共n位，即x*有n位有效数字

5. 什么是算法稳定性？如何判断算法的稳定？为什么不稳定算法不能使用？
   数值稳定：输入数据有误差，而在计算中舍入误差不增长。

6. 什么是问题的病态性
   病态问题：对于一个数值问题，若输入数据有微小扰动，引起输出数据相对误差很大（即条件数：相对误差之比）

7. 什么是迭代法？
   一种按同一公式从初始值开始重复计算逐次逼近真值的算法

8. 计算误差（已知相对误差求误差、已知误差求相对误差、求相对误差限）【函数误差-求导】

9. 有效数字《-》相对误差限/相对误差

10. 有效数字+多元相对误差限（类比求导法则）

计算题

1. 误差应用题（求误差/相对误差/相对误差限）
   放缩、函数误差

2. 秦九韶算法（求p(3)和p’(3)）
   $b_0=a_0$
   $b_i=b_{i-1}{x}^{\ast }+a_i$

   $c_0=b_0$
   $c_i=c_{i-1}{x}^{\ast }+b_i$

第2章-插值

填空题

1. 拉格朗日基函数：n+1个n次多项式$l_0(x),l_1(x),...,l_n(x)$
   $L_n(x)={\sum }_{k=0}^n{l}_k(x)y_k$

2. 牛顿基函数： { 1 , x − x 0 , ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) , . . . , ( x − x 0 ) . . ( x − x n − 1 ) } \{1,x-x_0,(x-x_0)(x-x_1),...,(x-x_0)..(x-x_{n-1})\} {1,x−x0​,(x−x0​)(x−x1​),...,(x−x0​)..(x−xn−1​)}
   $P_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1]f(x_1)+...+f[x_0,x_1,...,x_n]f(x_{n-1})$

   牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推关系，得到高次的多项式，比单项式基函数和拉格朗日插值更方便
   递推关系：$P_{k+1}(x)=P_k(x)+f[x_0,...,x_{k+1}](x-x_k)$

3. 单项式、拉格朗日、牛顿插值的工作量由低到高：拉格朗日、牛顿、单项式

4. 埃尔米特插值要求插值多项式与节点函数值相等，还要求插值多项式与被插值函数的一阶导数甚至高阶导数也相等.

计算题

1. 给出三个点的坐标，求单项式、拉格朗日插值、牛顿插值

2. 利用差商公式，计算差商（利用$f[x_0,x_1,...,x_n]=\frac{f^{(n)}(ϵ)}{n!},ϵ\in [a,b]$）

3. 两点三次+2阶导埃尔米特插值（牛顿法+待定系数）

4. 两点三次+1阶导埃尔米特插值（埃尔米特插值/牛顿法）
   埃尔米特插值：$p(x)={\alpha }_0(x)f(x_0)+{\alpha }_1(x)f(x_1)+{\beta }_0(x)f(x_0)+{\beta }_1(x)f(x_1)$

   其中，$$\begin{gathered} {\alpha }_0(x)=[1+2l_1(x)]l_0^2(x) \\ {\alpha }_1(x)=[1+2l_0(x)]l_1^2(x) \\ {\beta }_0(x)=(x-x_0)l_0^2(x) \\ {\beta }_1(x)=(x-x_1)l_1^2(x) \end{gathered}$$

证明题

1. 利用余项公式证明恒等关系
   $R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n-+1)}(ϵ)}{(n+1)!}{w}_{n+1}(x)$

   此时，由于$f^{(n+1)}(ϵ)=0$，因此$R_n(x)=0$

第3章-函数逼近

填空题

1. 函数的范数：函数无穷范数（绝对值最大值）、函数1范数（绝对值积分）、函数2范数（平方积分后开根）

2. 函数内积：

3. 证明函数族线性无关？
   利用对应的格拉姆矩阵 ，判断该行列式是否≠0

   n次最佳平方逼近多项式：

   最小二乘拟合：

计算题

1. 求最佳平方逼近及均方误差

   1. 给定基函数，求最佳逼近多项式

   2. 利用Legendre求最佳平方逼近多项式（可能要换元）

      Legendre基函数：1、x、$\frac{3x^2-1}{2}$、$\frac{5x^3-3x}{2}$

   3. 利用切比雪夫求最佳平方多项式、误差

      切比雪夫基函数：1、x、$2x^2-1$、$4x^3-3x$

2. 最小二乘法求近似多项式

   给定5个点坐标和基函数，最小二乘法求近似多项式、均方误差

证明题

1. 证明单项式的基函数 { 1 , x , x 2 , . . . , x n } \{1,x,x^2,...,x^n\} {1,x,x2,...,xn}线性无关：对应的格拉姆矩阵，判断该行列式是否≠0

2. 证明切比雪夫

第4章-数值积分与微分

填空题

1. 梯形公式的几何意义：上底为f(a)，下底为f(b)，高位b-a的梯形面积近似曲边梯形面积（积分值）

2. 求积公式的代数精度为m：求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立。梯形公式的代数精度为1。

3. 牛顿-柯特斯公式：将积分区间作等分，由等距节点构造出的插值型求积公式。

   n阶牛顿-柯特斯公式至少具有n次代数精度，当n为偶数时，至少具有n+1次代数精度

   如：n=2的牛顿-柯特斯公式是辛普森公式，代数精度为3

4. 复合求积法：为提高精度，将积分区间分为若干子区间，在每个子区间中用低阶求积公式

计算题

1. 确定求积公式中的待定参数，并指明代数精度

   n+1个点唯一确定一个至少有n次代数精度的求积公式

   题目给定的求积公式里使用了n个节点，直接将$1,x,..,x^{n-1}$带入求积公式，均成立。

   然后尝试$x^n,x^{n+1}...$，当$f(x)=x^k$准确成立，而$f(x)=x^{k+1}$不准确成立，则公式具有k次代数精度。

2. 求插值型求积公式

   给定三个点，求这三个点的插值型求积公式（求积公式的系数就是对应插值基函数的积分）

3. 利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分

   • 梯形公式：函数积分=$T=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$
   • Simpson公式：函数积分=$S=\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]$
   • Cotes公式：函数积分=$C=\frac{b-a}{90}[7f(x_0)+32f(x_1)+12f(x_2)+32f(x_3)+7f(x_4)]$

4. 利用复合梯形公式、Simpson公式计算积分

   • 复合梯形公式：函数积分=$T_n=\frac{b-a}{2}[f(a)+2{\sum }_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]$
   • Simpson公式：函数积分=$S_n=\frac{b-a}{6}[f(a)+4{\sum }_{k=0}^{n-1}f(x_{k+1/2})+2{\sum }_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]$

证明题

1. 推导求积公式
2. 确定数值微分的截断误差表达式

第5章-解线性方程组的直接方法

填空题

1. 高斯消去法为什么选主元？哪些方程组可以不选主元？

   高斯消去法中需要用主元素作为除数，若出现主元素为0则无法进行，或是主元素很小，会导致其他元素数量级严重增长和舍入误差扩散。

   系数矩阵A正定对称时，不需要选主元

2. 高斯消去法与LU分解的关系？

   当不需要选主元时，高斯消去法实质上将A分解为两个三角矩阵相乘，即A=LU

   当需要选主元(列)时，高斯消去法相当于对A进行一系行变换，然后再进行一般的高斯消去法，即存在排列阵P,PA=LU

   能进行LU分解的条件是A非奇异

3. 向量范数与矩阵范数？

   向量范数：

   矩阵范数：

   矩阵的F范数：元素的平方和再开根

计算题

1. 列主元消去法求解线性方程组/求逆

2. 直接三角分解（杜利特尔分解）求线性方程组

3. 求矩阵的行范数、列范数、2范数和F范数

4. 判断是否能LU分解，是否唯一？

   所有顺序主子式均不为0，唯一可分为单位下三角矩阵L和上三角矩阵U

第6章-解线性方程组的迭代法

填空题

1. 迭代法收敛的判断

   • 迭代法收敛的充要条件：矩阵B的谱半径<1
   • 迭代法收敛的充分条件：矩阵B的某范数<1
   • 严格对角占优矩阵（|主对角线上元素均大于所在行的其他元素之和|）-》迭代法收敛
   • Jacobi收敛 《–》 A及2D-A均为正定矩阵
   • G-S收敛 《-- A正定

2. 矩阵A的分裂：A=D-L-U

3. Jacobi和G-S矩阵：

   • Jacobi：$B_J=D^{-1}(L+U)$
   • G-S：$B_G=(D-L{)}^{-1}U$

4. 渐进收敛速度：$R(B)=-ln\rho (B)$

5. Jacobi和G-S的计算公式和区别

计算题

1. 判断Jacobi和G-S的收敛性
   • A为严格对角占优矩阵
   • $B_J/B_G$的$\rho (B)<1$
   • 存在B的范数<1
2. Jacobi和G-S迭代法
   • Jacobi：$B_J=D^{-1}(L+U)$
   • G-S：$B_G=(D-L{)}^{-1}U$

计算题

1. 判断Jacobi和G-S的收敛性
   • A为严格对角占优矩阵
   • $B_J/B_G$的$\rho (B)<1$
   • 存在B的范数<1
2. Jacobi和G-S迭代法
   • Jacobi：$B_J=D^{-1}(L+U)$
   • G-S：$B_G=(D-L{)}^{-1}U$