现实中的决策树模型之日常吃饭_日常决策的例子

决策树

• 决策树是一种基本的分类与回归方法，决策过程中提出的每一个判定问题都是对某一个属性的“测试”，每个测试结果或是导出最终结论，或是导出进一步的判定问题，其考虑范围在上次决策结果的限定范围之内。
• 决策树学习的目的是 为了产生一颗泛化能力强，即处理未见示例能力强的决策树。决策树图形如下图所示
• 决策树在分类问题中，表示基于特征对实例进行分类的过程，可以认为它是if-then规则，也可以认为他是定义在特征空间与类空间上的条件概率分布

假设给定训练数据集 D = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ⋯   , ( x N , y N ) } \boldsymbol{D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_N,y_N)\}} D={ (x1​,y1​),(x2​,y2​),⋯,(xN​,yN​)}
其中，${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}=({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{(1)},{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{(2)},\cdots ,{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{(\mathbf{n})}{)}^{\mathbf{T}}$ 为输入实例，也叫做特征向量，$\mathbf{n}$ 为特征个数， y i ∈ { 1 , 2 , ⋯   , K } \boldsymbol{y_i\in\{1,2,\cdots,K\}} yi​∈{ 1,2,⋯,K} 为类标记，$\mathbf{i}=1,2,\cdots ,\mathbf{N}$，$\mathbf{N}$为样本容量。

以去食堂吃饭为例：

它的特征空间分布如下图：

在上例中特征向量的维数为2，也就是只有两个判断特征，那么它的特征空间就是二维平面的，类别数也只有两个：去吃饭和吃nm，其中 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 为实例的两个类别（去吃饭和吃nm），假定特征 ${\mathbf{x}}_1$ 的阈值为 ${\mathbf{ϵ}}_1$ ，特征 ${\mathbf{x}}_2$ 的阈值为 ${\mathbf{ϵ}}_2$ ，根据阈值将特征空间划分为几个部分

上图就是本人每天去食堂的心理决策图，可以看出先进行决断的指标是在我看来最重要的，也就是在我心中占比最大的，之后的指标的重要程度一层层降低。这在决策树中也是一样的，这些指标在决策树中被称为规则。

特征选择

计算机通过一些特别的算法能理解数据中所蕴含的知识信息，这些数据被称为特征，划分数据集中实例的规则就是从这些特征中选出来。那么在数据集中实例的特征会有一些对划分实例有比较重要的作用，有一些特征对于划分实例没什么作用，那么就会产生一些问题。

数据集哪个特征在划分数据分类时起决定作用？

为了找到决定性的特征，划分出最好的结果，我们必须评估每个特征，使杂乱无章的数据变得更加有序，原始数据集被划分为几个数据子集。

这些数据子集会分布在第一个决策点的所有分支上，如果某个分支下的数据属于同一个类型，则无需进一步对数据集进行分割。如果数据子集内的数据不属于同一类型，则需要重复分割数据子集的过程，划分数据子集的算法和划分原始数据集的算法相同，直到所有具有相同类型的数据均在一个数据子集。

如何判断划分的子集属于父集？

首先引入一个概念信息增益（在划分数据集之前之后信息发生的变化），可以使用信息论量化度量信息的内容。

信息熵

• 一条信息的信息量与其不确定性有着直接的联系。例如：我们要搞清楚一件不确定的的事，一无所知的事，就需要大量的信息，相反如果对某件事了解较多，则不需要太多的信息就能把它搞清楚。从这个角度来看，可以认为，信息量等于不确定性的多少。系统不确定性越多，信息熵就越大。
• 信息熵表示为：$$\mathbf{E}\mathbf{n}\mathbf{t}(\mathbf{D})=-\sum _{\mathbf{k}=1}^{\mathbf{K}}{\mathbf{p}}_{\mathbf{k}}{\log }_2({\mathbf{p}}_{\mathbf{k}})$$单位是比特（bit）
  $\mathbf{K}$ 表示数据集中有 $\mathbf{K}$个类别，${\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$表示第 $\mathbf{i}$ 类样本在样本集合 $\mathbf{D}$ 中所占比例为

信息论中的冗余度：表示信息重复的指标，重复的信息越多，信息量就越小，冗余度就越高。

条件熵

• 在阅读的过程中，我们联系上下文去理解某段话的深层次的含义，这是个寻找相关信息的过程。事实证明，“相关的”信息也能够消除不确定性

现在假设X和Y是两个随机变量。Y是我们想要了解的，它的熵是$$\mathbf{H}(\mathbf{X})=-\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{n}}\mathbf{p}({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})\log \mathbf{p}({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})$$

而且我们还知道Y和X一起出现的概率，也就是X，Y的联合概率分布$$\mathbf{p}(\mathbf{X}={\mathbf{x}}_{\mathbf{i}},\mathbf{Y}={\mathbf{y}}_{\mathbf{i}})={\mathbf{p}}_{\mathbf{i}\mathbf{j}}$$