第四章 二元关系和函数 4.5（2）偏序关系_大于一个集合的任意元素

4.5（2）偏序关系

偏序关系用来研究一个集合中元素之间是否可以进行大小比较和排序。


例题：

由此可见，小于等于关系使A中的元素可以比较，排序。
我们引入可比的概念:

例如：

为了更直观的表示偏序集所表达的元素的比较和排序关系，我们引入哈斯图的概念：

根据其覆盖关系相连。

反过来，我们也可以通过其哈斯图来逆推其关系：
例如：

注意：
<1>因为哈斯图的节点是按照偏序关系从底往上排列的，所以在看图写关系的时候应该从底部出发往上找对应关系。例如：本题中有<c,e>但是没有<c,a>。
<2>因为偏序关系是满足自反性的，而哈斯图又不能体现出自连。所以最后别忘啦与$I_A$取并集。

简单说就是偏序集中任何两个元素之间都是满足偏序关系的，则这个偏序集我们就叫做全序集。

例题：



既然在偏序关系中元素可以比较大小，那么我们可以给出最小（大）元和极小（大）元的定义：

只看概念不好理解，我们来看其哈斯图：

这样就一目了然了：
<1>极大元：每个分支上的最高点。
<2>极小元：每个分支上的最低点。
<3>最大元: 一个大于等于（表示位置）任何元素的元素。
<4>最小元: 一个小于等于（表示位置）任何元素的元素。

这个偏序集没有最大元，也没有最小元。
解析：

• 没有最大元：e不大于等于（表示位置）g和h
• 没有最小元：a,b,f,h相互不小于等于（表示位置）

我们得出已下结论：

举出一个有极小元但没有极大元的偏序集

• 正整数集,数的小于等于关系.

举出一个有极大元但没有极小元的偏序集.

• 正整数集,数的大于等于关系

举出一个既没有极大元又没有极小元的偏序集.

• 整数集,数的小于等于关系.

这几个特例都是通过列举无穷偏序集来实现的。

注意：
对于非空有穷偏序集来说，一定存在极大元和极小元。

同样，我们看图来理解：

解析：

• 上界：大于等于（表示位置）集合中任意元素的点。（这里8只大于等于2，而不大于等于1和3）。
• 下界：小于等于（表示位置）集合中任意元素的点。
• 上确界：即为最小上界。
• 下确界：即为最大上界。

我们再引入一个特殊的偏序关系：

例题：



这个应该没啥用。

练习1：
设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系，B={2,4,6}，则集合B的最大元，最小元，上界，下界依次为?

练习2：
由下列矩阵表示的关系,()是偏序关系？

练习3：