形象理解线性代数（四）——向量的点乘（点积，内积）和叉乘（外积）_向量点积 面积

一、向量的点积

首先，我们知道向量的点积公式定义：

$\small x\cdot y=\sum x_{i}y_i$                      (1)

但是当学过内积之后，我们对其又有了新的表述形式

$\small <x,y>=x\cdot y=\sum x_{i}y_i=|x||y|cos\theta$                (2)

我们来看定义（2），一个那么美妙的式子。在图中去理解好像更容易一些：

这不就是相当于x向量的长度乘以y向量在x方向上投影的长度吗。

二、向量的叉积

同样，我们来看下叉积的定义：

$\small \overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & x_{1} & y_{1}\\ \overrightarrow{j} & x_{2} & y_{3}\\ \overrightarrow{k} & x_{3}&y_{3} \end{vmatrix} =\overrightarrow{i}(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+\overrightarrow{j}(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1})+\overrightarrow{k}(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})$     (3)

这是一个新的向量，并且这个向量垂直于原来两向量张成的空间。

接下来，我们再用一个新的定义与之对比：

$\small |\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}| =|x||y|sin\theta$  (4)

用(4)和(2)对比一下，是不是很相似。但是我们来看，新向量的长度不就是等于原向量围成的面积吗。