Pytorch张量的数学运算：矩阵运算

  二维张量又被称为矩阵。
  对于矩阵的运算有加、减、逐元素乘、数乘、点积（矩阵乘法）、逐元素除、转置、逆、行列式。向量的点积（也称为内积或标量积）和矩阵的点积（通常指矩阵乘法）在数学上有不同的定义和用途，因此它们的计算方式也不相同。

一、基础运算

• 加法：矩阵的形状必须相同或者满足广播要求
• 减法：矩阵的形状必须相同或者满足广播要求
• 乘法（逐元素乘）：矩阵的形状必须相同或者满足广播要求
• 除法：矩阵的形状必须相同或者满足广播要求
• 数乘
• 矩阵乘法：必须满足线性代数的矩阵乘法

import torch
matrix1=torch.tensor([[1,2,3],[1,2,3]])
matrix2=torch.tensor([[3,2,1],[3,2,1]])
matrix3=torch.tensor([[1,2],[1,2],[1,2]])
print("乘法结果：",matrix1*matrix2)
print("加法结果：",matrix1+matrix2)
print("减法结果：",matrix1-matrix2)
print("除法结果：",matrix1/matrix2)
print("数乘结果：",matrix1*10)
print("矩阵乘法结果：",matrix1@matrix3)#2×3 @ 3×2
print("矩阵乘法结果：",torch.matmul(matrix1,matrix3))#2×3 @ 3×2
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二、矩阵的特殊运算

• 在PyTorch中，torch.transpose 函数是用来转置矩阵
• 在PyTorch中，可以使用torch.det()函数计算方阵的行列式。
• 在PyTorch中，可以使用torch.trace()函数计算方阵的迹。
• 在PyTorch中，可以使用torch.inverse()函数计算方阵的逆。

1、矩阵的转置

在PyTorch中，torch.transpose 函数是用来转置矩阵或者更高维度的张量（Tensor）的。它可以交换张量的两个维度，对于二维张量（矩阵）来说，这等同于常规的矩阵转置操作。

• torch.transpose对于二维张量（矩阵）来说，通常用于行列交换，等同于矩阵的转置操作。
• 在处理多于两维的张量时，torch.transpose提供了灵活性，可以选择任意两个维度进行交换。
• 如果需要对多维张量进行多次维度交换，可能会使用torch.permute，它允许一次性重新排列多个维度。

1.1、语法

函数的基本语法如下：

torch.transpose(input, dim0, dim1)
1

• input：要转置的输入张量。
• dim0：要交换的第一个维度。
• dim1：要交换的第二个维度。

1.2、示例

让我们看一些torch.transpose的使用示例：

1.2.1、二维矩阵转置

对于一个二维张量（矩阵），torch.transpose(matrix,0,1) 可以将其行和列交换。

import torch

# 创建一个2x3的矩阵
x = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print("Original matrix:\n", x)

# 转置矩阵
y = torch.transpose(x, 0, 1)
print("Transposed matrix:\n", y)
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这将输出：

Original matrix:
 tensor([[1, 2, 3],
         [4, 5, 6]])
Transposed matrix:
 tensor([[1, 4],
         [2, 5],
         [3, 6]])
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1.2.2、更高维度的张量转置

对于三维或更高维度的张量，torch.transpose可以用来交换任意两个维度。这很抽象，我们只需要关注矩阵的就行。

# 创建一个3x2x2的张量
x = torch.rand(3, 2, 2)
print("Original tensor shape:", x.shape)

# 交换第一个维度和第二个维度
y = torch.transpose(x, 0, 1)
print("Transposed tensor shape:", y.shape)
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这将输出形状变化的信息，例如，如果原始张量形状是(3, 2, 2)，转置后的张量形状会是(2, 3, 2)。

2、方阵的行列式

行列式 det(A)，是一个将 方阵 A 映射到实数的函数。矩阵的行列式是一个标量值，它提供了矩阵（线性变换）的一些重要性质的信息。对于一个方阵（即行数和列数相等的矩阵），其行列式可以通过多种方法计算，包括拉普拉斯展开、行列式的定义，或者更实用的方法，如LU分解。

行列式有几个重要的性质和几何意义：

1. 非奇异性：一个矩阵是非奇异的（即可逆的）当且仅当其行列式不为零。
2. 体积缩放因子：在几何上，一个方阵的行列式告诉我们，由该矩阵表示的线性变换改变了空间的多少倍体积。 如果行列式为1，意味着体积保持不变；如果行列式为负，意味着除了缩放，还进行了一个镜像反转。
3. 行列式的乘积性：两个矩阵乘积的行列式等于这两个矩阵行列式的乘积，即det(AB) = det(A)· det(B)。

2.1、计算行列式

在PyTorch中，可以使用torch.det()函数计算方阵的行列式。

• .det: Expected a floating point or complex tensor as input.

2.2、示例：使用PyTorch计算行列式

import torch

# 创建一个2x2的矩阵
A = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]], dtype=torch.float)

# 计算行列式
det_A = torch.det(A)
print(det_A)
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输出：

tensor(-2.)
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3、方阵的迹

方阵 A 的迹：对角线元素之和，通常表示为Tr(A)。
在PyTorch中，可以使用torch.trace()函数计算方阵的迹。

import torch

# 创建一个2x2的矩阵
A = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]])

# 计算迹
Tr_A = torch.trace(A)
print(Tr_A)
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输出：

tensor(5)
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4、方阵的逆

矩阵的逆是线性代数中的一个重要概念，对于给定的方阵A，如果存在另一个方阵 B 使得 AB = BA = I，其中 I 是单位矩阵，则称 B 为 A 的逆矩阵。单位矩阵 I 是一个主对角线上所有元素都为1，其余元素都为0的方阵。

4.1、计算矩阵的逆

计算矩阵的逆可以通过多种方法实现，包括代数余子式法（对于小的矩阵）、高斯消元法或LU分解等。在计算机中，通常使用数值稳定的算法来计算较大矩阵的逆。

4.2、使用PyTorch计算逆矩阵

在PyTorch中，可以使用torch.inverse()函数计算方阵的逆。

import torch
A = torch.tensor([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]])
A_inv = torch.inverse(A)
print(A_inv)
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这将输出矩阵 A 的逆：

tensor([[-2.0000,  1.0000],
        [ 1.5000, -0.5000]])
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