[Collection与数据结构] 二叉树(一):二叉树的性质与基本操作

作者：你好赵伟 | 2024-04-16 19:27:44

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1. 树形结构

1.1 概念1 (了解)

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。

注意:在子树之间不可以有交集,否者就不是树形结构.

1.2 概念2 (重点)

在这里插入图片描述

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度,如b的度为2.
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度,如上面这棵树的度为2.
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点,如上图中d,g,h,i都是叶子结点.
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点,如g的父结点是e.
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点,如b的子节点是d,e.
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点,如上面这棵树的根节点是a.
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推.
树的高度或深度：树中结点的最大层次,如上面这棵树的深度是4.
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点,如g的兄弟结点是h
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟,如e是f的堂兄弟结点.

1.3 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。下图中,c代表child,b代表brother.
在这里插入图片描述

1.4 树的应用

2. 二叉树(重点)

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：
二叉树不存在度大于2的结点.
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树.

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
在这里插入图片描述

2.2 两种特殊的二叉树

满二叉树:
一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树。
完全二叉树:
通过层序遍历的方法,==从上到下,从左到右,依次存储结点,==中间不可以有断开.
[注] 满二叉树是一棵特殊的完全二叉树.

2.3 二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^i-1(i>0)个结点.
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0).
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1.(做题经常用)
具有n个结点的完全二叉树的深度k为log₂(n+1)向上取整.
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
- 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
- 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
- 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 二叉树的存储

在这里,我们使用类似与链表的链式存储.
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有**二叉(找不到父节点,类似与单向列表)和三叉(可以找到父节点,类似与双向链表)**表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
 
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent;    // 当前节点的父节点
}
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2.5 二叉树的基本操作

前置说明:我们这里使用非常简单的方法来创建一棵二叉树,此二叉树是孩子表示法,其实真正创建二叉树的方法不是这样的,我们后边介绍.我们创建下面这棵二叉树:
在这里插入图片描述

2.5.1 二叉树的遍历

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
层序遍历: 从上到下,从左到右,依次遍历.

public class BinaryTree  {
    static class Node{
        public int value;
        public Node left;
        public Node right;

        public Node(int value) {
            this.value = value;
        }
    }
    public int treeSize;

    /**
     * 创建一棵默认的树
     * @return
     */
    public Node createTree(){//注意:真正创建二叉树的方法不是这这样的,我们后面介绍
        Node a = new Node(1);
        Node b = new Node(2);
        Node c = new Node(3);
        Node d = new Node(4);
        Node e = new Node(5);
        Node f = new Node(6);
        Node g = new Node(7);
        a.left = b;
        a.right = c;
        b.left = d;
        c.left = e;
        c.right = f;
        d.left = g;
        return a;
    }

    /**
     * 前序遍历
     * @param root
     */
    public void preOrder(Node root){
        if (root == null){
            return;
        }
        System.out.print(root.value+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /**
     * 中序遍历
     * @param root
     */
    public void inOrder(Node root){
        if (root == null){
            return;
        }
        preOrder(root.left);
        System.out.print(root.value+" ");
        preOrder(root.right);
    }

    /**
     * 后序遍历
     * @param root
     */
    public void postOrder(Node root){
        if (root == null){
            return;
        }
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
        System.out.print(root.value+" ");
    }

    /**
     * 计算树的大小
     * @param root
     * @return
     */
    public int size(Node root) {
        if (root == null){
            return 0;
        }
        treeSize++;
        size(root.left);
        size(root.right);
        return treeSize;
    }

    /**
     * 获取树叶子结点的个数
     * @param root
     * @return
     */
    public int getLeafNodeCount(Node root) {
        if (root == null){
            return 0;
        }
        if (root.left == null && root.right == null){
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);
    }

    /**
     * 获取该树的第k层有几个结点
     * @param root
     * @param k
     * @return
     */
    public int getKLevelNodeCount(Node root, int k) {
        if (root == null){
            return 0;
        }
        if (k == 1){
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)
        +getKLevelNodeCount(root.right,k-1);//每递归一层,k-1
        //相对与根节点,第三层就是第三层,相对第二层,第三层是第二层,以此类推...
    }

    /**
     * 获取树的高度,取左子树和右子树的最大值+1(加上根节点所在的层)
     * @param root
     * @return
     */
    public int getHeight(Node root) {
        if (root == null){
            return 0;
        }
        return Math.max(getHeight(root.left),getHeight(root.right))+1;
    }

    /**
     * 在树中寻找val值是否存在
     * @param root
     * @param val
     * @return
     */
    public Node find(Node root, int val) {
        if (root == null){
            return null;
        }
        if (root.value == val){
            return root;
        }
        Node leftNode = find(root.left,val);
        if (leftNode != null){//写成判断地址的形,如果写成值的形式,可能会报空指针异常
            return leftNode;//如果从左树中找到,直接返回,就不用遍历右树,以此来减小时间复杂度
        }
        Node rightNode = find(root.right,val);
        if (rightNode != null){
            return rightNode;
        }
        return null;//递归到底了,说明没找到,返回null
    }
/*
层序遍历和判断是否为完全二叉树比较复杂,我们后续介绍
 */
}

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开始测试:

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        BinaryTree.Node root = binaryTree.createTree();
        binaryTree.preOrder(root);
        System.out.println();
        binaryTree.inOrder(root);
        System.out.println();
        binaryTree.postOrder(root);
        System.out.println();
        System.out.println(binaryTree.size(root));
        System.out.println(binaryTree.getLeafNodeCount(root));
        System.out.println(binaryTree.getKLevelNodeCount(root,4));
        System.out.println(binaryTree.getHeight(root));
        System.out.println(binaryTree.find(root,7));
        System.out.println(binaryTree.find(root,8));

    }
}
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测试结果:
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