算法-----回溯算法

一   什么是回溯算法

回溯算法（Backtracking Algorithm）是一种用于解决组合优化问题的算法，它通过逐步构建候选解并进行验证，以寻找所有满足特定条件的解。回溯算法通常应用于在给定约束条件下枚举所有可能解的问题，如组合、排列、子集等。

回溯算法的基本思想是通过递归的方式进行搜索，每一步都尝试扩展当前的解，直到找到满足条件的解或者确定无解。在搜索的过程中，如果当前的解不满足约束条件，就会回溯到上一步进行其他选择，继续搜索。

回溯算法的一般步骤如下：

1. 定义问题的解空间，确定问题的约束条件。
2. 通过递归的方式搜索解空间，每一步都进行选择，并进行约束条件的检查。
3. 如果当前的选择满足约束条件，则继续递归地进行下一步选择。
4. 如果当前的选择不满足约束条件，进行回溯，撤销当前选择，返回上一步继续搜索其他选择。
5. 当搜索完成后，得到所有满足条件的解。

回溯算法的时间复杂度通常较高，因为它需要枚举所有可能的解。在某些情况下，可以通过剪枝等优化策略来减少搜索空间，提高算法效率。

回溯算法在很多问题中都有应用，例如八皇后问题、0-1背包问题、图的遍历等。它是一种非常经典和常用的算法思想，对于解决组合优化问题具有重要的作用。

通常解该类题目时，我们要确定解的空间，从而很好的利用回溯算法来解决该类题目。

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二   何为解空间

      解空间（Solution Space）是指在给定问题的约束条件下，所有可能的解的集合。它包含了问题的所有合法解。

      解空间的具体形式取决于问题的性质和约束条件。对于某些问题，解空间可能是一个有限的集合，例如在数独游戏中，解空间是由符合数独规则的所有数字填充方案组成的集合。而对于其他问题，解空间可能是一个无限的集合，例如在连续优化问题中，解空间是由实数构成的无限维空间。

     解空间是问题求解的关键概念之一。在解决问题时，我们通常需要在解空间中搜索满足特定条件的解。回溯算法、枚举法、剪枝算法等求解方法都是基于对解空间的搜索。

      解空间的大小直接影响了问题的复杂性和求解算法的效率。如果解空间非常大，问题的求解可能会非常困难，需要耗费更多的时间和资源。因此，在实际应用中，优化算法常常通过剪枝、启发式搜索等技术来减小解空间的规模，以提高求解效率。

总之，解空间是问题求解中描述所有可能解的概念，通过搜索解空间，我们可以找到满足问题要求的解或者找到最优解。

对于大多数该类问题的解空间都是树的形式，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。

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三   回溯算法的模板

下面是回溯算法的一般模板：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }
 
    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {//横向遍历
        处理节点;//这里一般可能进行剪枝操作
        backtracking(路径，选择列表); // 递归，纵向遍历
        回溯，撤销处理结果
    }
}

这是一个基本的回溯算法模板，其中的关键点包括：

1. 定义终止条件：当满足终止条件时，表示找到了一个解或者不再需要继续搜索，可以进行相应的操作，如输出结果或返回。

2. 遍历选择列表：遍历所有可能的选择，通常使用循环结构，对于每个选择，进行相应的操作。

3. 做出选择：根据当前选择，更新状态或路径，表示对问题的一次选择。

4. 递归进入下一层决策树：根据当前选择，进入下一层决策树，即进行下一步的选择。

5. 撤销选择：在回溯到上一层之前，需要撤销当前选择，恢复状态或路径，以便进行下一个选择。

在实际应用中，根据具体问题的不同，模板中的代码需要进行相应的修改和扩展，以适应问题的特点和约束条件。同时，通过剪枝、优化等技巧，可以对模板进行改进，提高算法的效率。

需要注意的是，回溯算法是一种暴力搜索的方法，解空间的规模很大时，可能会导致算法效率低下。因此，在使用回溯算法时，需要根据问题的规模和特点进行合理的优化和剪枝，以提高算法的性能。

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四   回溯算法例题之N皇后问题

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

4*4的棋盘摆放结果如下：

解题思路：

1. 定义一个 N × N 的棋盘，使用一个二维数组或其他数据结构表示。初始化棋盘的所有位置为空。

2. 从第一行开始，逐行放置皇后。对于每一行，遍历该行的每一个位置，尝试将皇后放置在当前位置。

3. 在放置皇后之前，检查是否满足以下条件：

   • 当前位置的同一列没有其他皇后。
   • 当前位置的左上方和右上方（对角线）没有其他皇后。

4. 如果满足上述条件，将皇后放置在当前位置，并将该位置标记为已占用。

5. 继续递归地处理下一行，重复步骤 3 和步骤 4。

6. 如果已经放置了 N 个皇后，表示找到了一个可行解，将该解保存起来。

7. 回溯到上一步，撤销对当前位置的选择，继续尝试下一个位置。

8. 当所有的位置都尝试完毕或者已经找到了所有的可行解时，算法结束。

9. 返回所有的可行解。

    我们先以3*3的棋盘来看它的解空间，如图所示：

不难看出解空间对应的是树的结构，我们可以套用模板进行解决：

void Backtrack(char bord[][N],int n,int row){
	if(row>=n){//递归出口
		print(bord,n);//如果满足直接打印结果
		count++;//用来记录解的数量
		printf("\n");
		return ;
	}else{
		for(int colum=0;colum<n;colum++){//横向遍历
			if(isselect(bord,row,colum,n)){//如果满足放置条件
				bord[row][colum] = 'Q';
				Backtrack(bord,n,row+1);//进行递归，选择下一行的格子
				bord[row][colum] = '*';//回溯
			}
		}
	}
}

 【完整代码】

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#define N 100
 
int count=0;
void print(char bord[][N],int n){
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){
			if(bord[i][j] == 'Q'){
				printf("  Q");
			}else{
				printf("  *");
			} 
		}
		printf("\n");
	} 
}
 
bool isselect(char bord[][N], int row, int colum,int n) {
	for(int j=0;j<row;j++){//判断列
		if(bord[j][colum]=='Q'){
			return false;
		}
	}
	
	for(int i=row,j=colum;i>=0&&j>=0;i--,j--){//判断左上角
		if(bord[i][j]=='Q'){
			return false;
		}
		
	}
	
	for(int i=row,j=colum;i>=0&&j<n;i--,j++){//判断右上角
		if(bord[i][j]=='Q'){
			return false;
		}
		
	}
	return true;
	
}
 
 
 
void Backtrack(char bord[][N],int n,int row){
	if(row>=n){
		print(bord,n);
		count++;
		printf("\n");
		return ;
	}else{
		for(int colum=0;colum<n;colum++){
			if(isselect(bord,row,colum,n)){
				bord[row][colum] = 'Q';
				Backtrack(bord,n,row+1);
				bord[row][colum] = '*';
			}
		}
	}
}
 
int main()
{
	int n;
	printf("请输入皇后个数：\n");
	scanf("%d",&n);
	char bord[N][N]={'*'};
	printf("皇后摆放形式如下：\n");
	Backtrack(bord,n,0);
	printf("%d后问题共有%d种摆放方案 ",n,count);
	return 0;
}

【运行效果】

部分资料参考：代码随想录；