功率谱有什么用_如何理解随机振动的功率谱密度？

一、随机信号和正太分布有什么关系？
二、时域、频域之间功率守恒？
三、自相关又是个什么玩意？

作为一个工程师，很多人对随机振动看着熟悉，却又实际陌生。熟悉是因为几乎每个产品在出厂时都要求要做随机振动试验，陌生是因为当面对用户所给的功率密度谱有时会感到很茫然，尤其是这个功率谱的单位居然是

，简直是反人类，为啥整这么麻烦，不能给个加速度

直接振吗？哈哈，这个还真不能，下面咱们就来抽丝剥茧，看看随机振动功率密度谱到底是咋个回事？

随机振动，是因为振动源是随机信号，顾明思议，就是信号的发生带有随机性，无法用一个明确的函数把它表达出来，一个典型的随机信号大概长这个样子：

可以看出，乍一看完全没有规律可言，高度不规则，无规律的，不可预估也不可重复，每次测量都不一样。那随机信号是不是就是不可描述的呢？首先我们研究一下什么是随机，随机对应不确定性，不确定性在物理学和数学上是一个不受欢迎的词，老板问你图纸什么时候画完，你敢回答“随机吧”，或者更佛系一点“随缘吧”？相信等待你的可不仅仅是白眼哦，这也是为啥当初波恩将概率解释引入到量子力学时受到爱因斯坦强烈的反对，“上帝是不掷骰子”的典故便来源于此。然后诸多证据表明：也许随机是这个世界的本质特性之一，这可以由一个著名的数学定理来证明：中心极限定理。

一、随机信号和正太分布有什么关系

中心极限定理有一组，但基本可以用一句通俗的话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其平均值正态分布。对中心极限定理最形象的解释是高尔顿钉板实验：小球在下落过程中碰到很多个钉子，每次碰撞都是一个二项式的随机过程：以同等的概率通过钉子左侧或者右侧，小球最后到达的位置，是这很多个“左右”随机变量相加后的平均位置。不难看出，这个平均值落在中心处的概率最大，小球聚集最多，但也可能向左或向右偏，偏离越大，小球的数目越少，不同位置的不同小球数便形成了一个“分布”，中心极限定理则是从数学上证明了，这个分布的极限是正态分布。

高尔顿钉板实验实质上是一组二项式分布，从数学上还可以证明：中心极限定理的条件可以从二项分布推广到独立同分布随机序列，以及不同分布的随机序列。也就是说：在一定条件下，各种随意形状概率分布生成的随机变量，它们加在一起的总效应，是符合正态分布的。这也是为啥正太分布这么常见的原因，因为实际上的随机生物过程或物理过程，都不是只由一个单独的原因产生的，它们受到各种各样随机因素的影响。比如产品加工免不了有误差，而误差形成的原因五花八门，各种各样。就算我们打开上帝视角，够分别清楚产生误差的每种单一原因，误差的分布曲线可能不是高斯的，但是，所有误差加累计在一起时，通常得到一个正态分布。下图是30组随机变量，和值随数据增加时分布情况。

总之，中心极限定理告诉我们：无论引起过程的各种因素的基本分布是什么样的，当实验次数 充分大时，所有这些随机分量之和近似是一个正态分布的随机变量。也就是说：对于平稳随机过程而言，其分布是趋于正太的。

我们知道，正太分布的概率密度的表达式为：

其中

为数学期望，代表着信号的平均值，

，

为方差，表示这信号偏离平均值的程度，

。

为均方值，在工程上可以一般看成信号的平均功率，其平方根为有效值（RMS值），

很容易得到：

所以当平均值为零的时候，均方值与方差相等。从图形上看，平均值

决定了正太分布的位置，均方根值，也就是标准差

，决定了分布的幅度。如果正态分布概率密度一旦确定，其数学期望

和方差

也就确定了。对于随机信号而言，数学期望

基本为零（或者去除直流分量后为零），所以唯一确定的量就剩均方值，此时均方值和方差一致，并且

如果仔细观察上式，可以发现，从量纲来看，

代表了能量概念，而方差

代表了平均功率概念。

前面我们说到，平稳随机信号是趋于正太分布的，决定正太分布的两个参数：平均值

基本为零（不为零时，直流分量也很容易处理），唯一能表征随机信号的就剩均方值（

时等于方差）

，也就是平均功率了。再具体一点，对于平稳随机信号而言，描述

是没有意义的，描述平均功率才有意义。如何才能描述平均功率呢？这时我们就要用到

和波动频率

，光速

一个定值，波长和波动频率成反比。人眼可识别出波长在400纳米至700纳米的光线，并且根据波长不同（频率不同）将可见光分成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫色。当我们说“一个东西的表面是红色”的时候，这是正常人的定性描述，换成喜欢定量描述（装X）工程师会怎么说呢？“这个东西表面特性会选择性反射一种电磁波，这种电磁波波长约700纳米，波动频率 约

赫兹”。

那频谱分析是什么呢？它是一种将复杂号分解为较简单信号的技术，许多物理信号均可以表示为许多不同频率简单信号的和，找出一个信号在不同频率下的信息（可能是幅度、功率、强度或相位等）的作法就是频谱分析。比如通过一个三棱镜就可进行色散试验，将白光分解成频率各不相同的单色光，我们经常在雨后见到的彩虹也是一种色散现象。