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LeetCode算法题解(动态规划、股票买卖)|LeetCode123. 买卖股票的最佳时机 III、LeetCode188. 买卖股票的最佳时机 IV_给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ,其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ,其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i

一、LeetCode123. 买卖股票的最佳时机 III

题目链接:123. 买卖股票的最佳时机 III
题目描述:

给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例 1:

输入:prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出:6
解释:在第 4 天(股票价格 = 0)的时候买入,在第 6 天(股票价格 = 3)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后,在第 7 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 8 天 (股票价格 = 4)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2:

输入:prices = [1,2,3,4,5]
输出:4
解释:在第 1 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天 (股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票,之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易,你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入:prices = [7,6,4,3,1] 
输出:0 
解释:在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4:

输入:prices = [1]
输出:0

提示:

  • 1 <= prices.length <= 105
  • 0 <= prices[i] <= 105
算法分析:

两次买卖用4个状态来分别表示第一次买入股票、第一次卖出股票、第二次买入股票和第二次卖出股票。

定义dp数组及下标含义:

dp[i][0]表示第i天第一次买入股票时的利润,dp[i][1]表示第i天第一次卖出股票时所得最高利润;

dp[i][2]表示第i天第二次买入股票时所得最高利润,dp[i][3]表示第i天第二次卖出股票时所得最高利润。

递推公式:

dp[i][0],第i天第一次持有股票,可由两个方向推导出来:

1、第i-1天持有股票,那么保持现状(dp[i][0] = dp[i-1][0]);

2、第i天第一次买入股票,那么(dp[i][0]=-prices[i]);

所以dp[i][0]=max(dp[i-1][0],-prices[i]);

dp[i][1],第i天第一次卖出股票,也可以有两个方向推导出来:

1、第i-1天已经第一次卖出股票,那么保持现状dp[i][1] = dp[i-1][1];

2、第i天第一次卖出股票,那么dp[i][1] = dp[i-1][0]+prices[i];

所以dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);

同理dp[i][2],第i天第二次买入股票也可以由两个方向推导出来:

1、第i-1天就已经第二次买入股票,那么保持现状dp[i][2] = dp[i-1][2];

2、第i天才第二次买入股票,那么dp[i][2]=dp[i-1][1]-prices[i],第i天买入股票时的最高利润等于第i-1天第一次不持有股票的利润减去第i天的利润。

所以dp[i][2] = max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]-prices[i]);

dp[i][3],第i天第二次卖出股票的最高利润也可以有两个方向推导出来:

1、第i-1天就已经第二次卖出股票,那么保持现状dp[i][3]=dp[i-1][3];

2、第i天才第二次卖出股票,那么dp[i][3]=dp[i-1][2]+prices[i],第i-1天第二次持有股票使得状态加上第i天的利润。

初始化:

dp[0][0]=-prices[0],第零天第一次买入股票时所得最高利润为-prices[0]。

dp[0][1]=0,第零天第一次卖出股票时所得最高利润为0;

dp[0][2]=-prices[0],第零天第二次买入股票时所得最高利润为-prices[0]。

dp[0][3]=0,顶零天第二次卖出股票是所得最高利润为0;

遍历顺序:

从前往后依次遍历每天的股票价格。

打印dp数组进行检查验证。

代码如下:

  1. class Solution {
  2. public int maxProfit(int[] prices) {
  3. int[][] dp = new int[prices.length][4];
  4. dp[0][0] = -prices[0];//第一次买入股票所得最高利润
  5. dp[0][1] = 0;//第一次卖出股票所得最高利润
  6. dp[0][2] = -prices[0];//第二次买入股票所得最高利润
  7. dp[0][3] = 0;//第二次卖出股票所得最高利润
  8. for(int i = 1; i < prices.length; i++) {
  9. dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], -prices[i]);
  10. dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
  11. dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] - prices[i]);
  12. dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] + prices[i]);
  13. }
  14. return dp[prices.length - 1][3];
  15. }
  16. }

二、LeetCode188. 买卖股票的最佳时机 IV

题目链接:188. 买卖股票的最佳时机 IV
题目描述:

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ,其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说,你最多可以买 k 次,卖 k 次。

注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例 1:

输入:k = 2, prices = [2,4,1]
输出:2
解释:在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入,在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2:

输入:k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出:7
解释:在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入,在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后,在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入,在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

提示:

  • 1 <= k <= 100
  • 1 <= prices.length <= 1000
  • 0 <= prices[i] <= 1000
算法分析:
k次进行买卖,那么就有2*k次买入和卖出,我们可以定义2*k种状态。
定义dp数组及下标含义:

dp[i][j],如果j%2==0,表示第i天第j/2+1次买入股票,乳沟j%2==1,表示第i天第j/2+1次卖出股票。

递推公式:

for循环遍历j,对于dp[i][j],

j = 0 时表示第一次买入股票,那么dp[i][j] = -prices[0]。

j != 0时,

如果j%2==0,那么dp[i][j]表示第i天第j/2+1次买入股票时最高利润,可有两个方向推到出来:

1、i-1天已经第j/2+1次持有股票,那么保持现状,dp[i][j] = dp[i-1][j];

2、第i天才第j/2+1次买入股票,那么dp[i][j]=dp[i-1][j-1]-prices[i];

所以dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]-prices[0]);

如果j%2!=0,那么dp[i][j]表示第i天第j/2+1次卖出股票时最高利润,也可由两个方向推导出来:

1、i-1天已经第j/2+1次卖出股票,则保持现状,dp[i][j]=dp[i-1][j];

2、第i天才第j/2+1次卖出股票,那么dp[i][j]=dp[[i-1][j-1]+prices[i];

所以dp[i]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]+prices[i];

遍历顺序:

从前往后依次遍历每天的股票价格。

打印dp数组验证。

代码如下:

  1. class Solution {
  2. public int maxProfit(int k, int[] prices) {
  3. int[][] dp = new int[prices.length][2 * k];
  4. for(int i = 0; i < 2 * k; i++) {
  5. if(i % 2 == 0) {//表示第i/2+1次买入股票
  6. dp[0][i] = -prices[0];
  7. }else{//第i/2次卖出股票
  8. dp[0][i] = 0;
  9. }
  10. }
  11. for(int i = 1; i < prices.length; i++) {
  12. for(int j = 0; j < 2 * k; j++) {
  13. if(j == 0){
  14. dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
  15. }else if(j % 2 == 0) {
  16. dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] - prices[i]);
  17. }else {
  18. dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] + prices[i]);
  19. }
  20. }
  21. }
  22. return dp[prices.length - 1][2 * k - 1];
  23. }
  24. }

总结

这两道题还是比较难的,对于进行k次买卖,每次买卖有买入和卖出两种状态,那么k次就需要有k*2种状态,每一种状态可以有前一天的这种状态和前一天的前一个状态推出来。

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