线性反馈移位寄存器LFSR和循环冗余码CRC_lfsr crc

0 前言

线性反馈移位寄存器(Linear Feedback Shift Register，LFSR)和循环冗余码（Cyclic Redundancy Check，CRC）是微控制器中常用的底层原理。

LFSR用于生成伪随机数，后者用于生成检错码。他们的数学原理都是一样的。

1 数学基础

1.1 逻辑异或

异或运算使用符号⊕或者nor表示，真值表如下
F = A ⊕ B

异或运算可以有3种理解方式：

1 相同得1，不同得0

2 二进制加法，只留模2的余数，抛弃进位（模2加法）

3 二进制减法，大数减小数，不借位（模2减法）

1.2 模2乘法 和 模2除法

两个二进制数的模2乘法是指在乘法竖式运算中需要做加法的地方都使用异或运算

模2乘法1010 * 101=100010，下图红框中，1⊕0⊕1=0，没有进位

两个二进制数的模2除法是指在除法竖式运算中需要做减法的地方都使用异或运算

模2除法10000 / 101=101余1，下图红框中，0⊕1=1，没有借位

2 线性反馈移位寄存器LFSR

以斐波那契(外部LFSR)为例，有n个二进制寄存器R₀-R_n-1，每个寄存器值为0或1

在k阶段，寄存器存在初值，(R_n-1, … R₁, R₀)，称为seed
在k+1阶段，寄存器的值变为：

也就是说寄存器存储的结果 (R_n-1, … R₁, R₀) 每个时钟周期改变一次，其中R₁-R_n-1是位移产生，R₀是线性反馈函数 f(R_n-1, … R₁, R₀) 产生，所以称为线性反馈移位寄存器。

线性反馈移位寄存器总是假定g₀,g_n为1，否则 (R_n-1, … R₁, R₀) 将在n个周期后恒定为0。

2.1 抽头和特征多项式

f(R_n-1, … R₁, R₀) = (R_n-1*g_n)⊕(R_n-2*g_n-1)⊕…⊕(R₀*g₁)*g₀ 可以用多项式表示为：

G(x)=g_nx_n+g_n-1x_n-1+…+g₁x+g₀

G(x)称为LFSR的特征多项式

影响线性反馈寄存器下一个状态的 g_i = 0 或1叫做抽头，抽头的设定会决定线性反馈寄存器存储的结果 (R_n-1, … R₁, R₀) 的变化规律。

通常N位的线性反馈寄存器最多有 2^N 个不同的状态。但是如果出现初值为N个0的情况，线性反馈寄存器陷入死循环，要排除掉。所以N位线性反馈寄存器能产生最长的不重复序列为 2^N-1。

抽头的位置会影响LSFR的最大输出状态的个数
例如：3位的抽头为(g₃, g₂, g₁, g₀) = (1, 1, 0, 1)会产生7个状态（多项式对应为：G(x)=x³+x²+1)
若抽头为(g₃, g₂, g₁, g₀) = (1, 0, 1, 1)，会产生2个状态（多项式对应为：x³+x+1)。

使最大输出序列长度为2^N-1的不可约多项式称为LFSR的本原多项式，本原多项式产生的寄存器序列为M序列。

当N位下，本原多项式不是唯一的。下表为不同的位下的本原多项式：

2.2 3阶线性反馈移位寄存器实例

上图为3阶线性反馈移位寄存器
抽头为(g₃, g₂, g₁, g₀) = (1, 1, 0, 1)
多项式对应为：G(x)=x³+x²+1
线性反馈函数R₀ = f(R₂, R₁, R₀) = R₁⊕R₂
初始值为SEED = (R₂, R₁, R₀) = (1, 0, 1)

3阶线性反馈移位寄存器周期为7：

通过设定seed和抽头，LFSR最多可产生2^N-1个序列，这些序列之间看似是随机产生的，之所以称之为伪随机，是因为这些数是通过具体的关系式产生，最终会实现循环。

3 循环冗余码CRC

现实的通信链路都不会是理想的。这就是说，比特在传输的过程中可能会产生差错：1可能会变成0，0可能会变成1，这就叫做比特差错。
因此，为了保证数据传输的可靠性，在计算机网络传输数据时，必须采用各种差错检测措施。
目前在数据链路层广泛使用了循环冗余检测CRC的检测技术

3.1 CRC的原理

CRC运算实际上就是在数据长为k的后面添加供差错检测用的n位冗余码，然后构成帧k+n位发送出去。

选择一个生成多项式，作为对接收的帧进行除法运算时的除数，生成多项式可以写为二进制形式；生成多项式的要求：
①最高位和最低位必须为1；
②当CRC码的任何一位发生错误时，新帧除生成多项式后余数不为0；
③不同位发生错误时，余数应该是不同的；

计算n位冗余码
现假定待传输的数据M = 101001(k = 6)，除数p = 1101 (n = 3，p比n多一位)
这n位冗余码可以用下面的方法得出。
(1)用二进制的模2运算进行(2^n)乘M的运算,相当于在M后面添加n个0。
即M后面添加3个0
(2)现在得到M = 101001000(k+n = 9)位的数除以除数p(n = 3)位，
得到余数R =001（n位），R就是冗余码FCS

现在加上CRC后发送的帧是101001001

在接收端把接收到的数据M = 101001001以帧为单位进行CRC检验：把收到的每一个帧都除以相同的除数p(模2运算)，然后检查得到的余数R。
如果在传输过程中没有差错，那么经过检验后得到余数R肯定是0。
(读者可以自己检验下，被除数现在是M = 101001001,除数P= 1101，看余数是否为0)
总之，在接收端对接收到的每一个帧经过CRC检验后，有两种情况：
(1)余数R = 0，则判断这个帧没有问题，就接受
(2)余数R != 0,则判断这个帧有差错，就丢弃。

3.2 CRC的实例

假设CRC生成多项式G(X)=X⁵+X⁴+X+1，要发送的二进制数据帧为100101110，求CRC校验码:

①把生成多项式转换为二进制数：110011；

②由生成多项式的位数为6可知，CRC校验码的位数为5，所以在数据帧后加5个0，变为10010111000000，将这个数使用模2除法除以生成多项式110011，得到余数即CRC校验码11010；

③用得到的CRC校验码替换掉数据帧中的5个0，形成新的帧10010111011010，将这个新帧发送给接收端；

④接收端收到新帧后，用新帧除以上面的多项式110011（模2除法），如果余数为0，该数据帧在传输过程中没有出错，否则出错；（经验证余数为0）