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决策树的功能和结构:一颗决策树包含一个根结点、若干个内部结点和若干个叶结点;叶结点对应于决策结果,其它每个结点则对应于一个属性测试;每个结点包含的样本集合根据属性测试的结果被划分到子结点中;根结点包含样片全集。
决策树学习的目的:为了产生一棵泛化能力强,即处理未见示例能力强的决策树。
决策树的生成是一个递归过程,但有递归就必定有导致递归返回的情况,要不然递归就会一直无限下去。
(1)当前结点包含的样本全属于同一类别,无需划分;
(2)当前属性集为空,或是所有样本在所有属性上取值相同,无法划分;
(3)当前结点包含的样本集合为空,不能划分。
在第(2)种情形下,我们把当前结点标记为叶结点,并将该类别设定为该结点所含样本最多的类别。
在第(3)种情形下,同样把当前结点标记为叶结点,但将其类别设定为与其父节点所包含样本最多的类别。
由图4.2可看出,决策树学习的关键是第8行,即如何选择最优划分属性。随着划分过程的不断进行,我们希望决策树的分支节点所包含的样本尽可能属于同一类别,即结点的“纯度”(purity)越来越高。
“信息熵”(information entropy)是度量样本集合纯度最常用的一种指标。假定当前样本集合
信息增益准则对可取值数目较多的属性有所偏好,为了减少这种偏好可能带来的不利影响,使用“增益率”(gain ratio)来选择最优划分属性。其定义为:
CART决策树,Classification and Regression Tree,是一种著名的决策树学习算法,分类和回归任务都可用。它就使用“尼基指数”(Gini index)来选择划分属性。数据集
剪枝(pruning)是决策树学习算法对付“过拟合”的主要手段。决策树剪枝的基本策略有“预剪枝”(prepruning)和”后剪枝”(post-pruning)。预剪枝是指在决策树生成过程中,对每个结点在划分前先进行估计,若当前结点的划分不能带来决策树泛化性能提升,则停止划分并将当前结点标记为叶结点;后剪枝是先从训练集生成一颗完整的决策树,然后自底向上地对非叶结点进行考察,若将该结点对应的子树替换为叶结点能带来决策树泛化性能提升,则将该子树替换为叶结点。
判断决策树泛化性能提升的方法有很多(留出法、自助法等),这里使用留出法讨论。对西瓜数据集随即划分成下图的两个部分:
基于信息增益准则,如果对表4.2的数据集生成决策树,如下图所示:
预剪枝处理的决策树如下图:
基于表4.2的数据我们得到图4.5的决策树,用验证集验证可知该决策树的进度为
其验证精度为
预剪枝与后剪枝比较:后剪枝决策树通常比预剪枝决策树保留了更多的分支,所以后剪枝决策树的欠拟合风险很小,泛化性能往往优于预剪枝决策树。
但后剪枝决策树需要对每个非叶结点逐一进行考察,因此其训练时间开销比未剪枝和预剪枝决策树都要大得多。
在现实学习任务中常会遇到连续属性(例如,形容一种特性的程度),所以有必要讨论如何在决策树学习中使用连续属性。二分法(bi-partition)是对连续属性进行处理的最简单策略,是一种连续属性离散化技术。
给定样本集
由于对于任意相邻的属性取值
现实任务中常常会遇到不完整的样本,即样本的某些属性值缺失。如果我们放弃这些不完整的样本,无疑是对数据信息的极大的浪费。下表是含有不完整样本的西瓜数据集
对此,我们需要解决两个问题:(1)如何在属性值缺失的情况下进行划分属性选择?(2)给定划分属性,若样本在该属性上的值缺失,如何对样本进行划分?
给定训练集
对于问题(1),我们仅可根据
假定我们为每个样本
若把每个属性是为坐标空间中的一个坐标轴,则d个属性对应d维空间中的一个数据点。决策树所形成的的分类边界有一个明显的特点:轴平行(axis-parallel),即它的分类边界由若干个与坐标轴平行的分段组成。
若是在多变量情况下,决策树会相当复杂,由于要进行大量的属性测试,预测时间开销会很大。但若能使用斜的划分边界,则决策树模型将大为简化。
“多变量决策树”(multivariate decision tree)就是能实现这样的“斜划分”甚至更复杂划分的决策树。
以实现斜划分的多变量决策树为例,在此类决策树中,非叶结点不再是仅对某个属性,而是对属性的线性组合进行测试;使得每个非叶结点是一个形如
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